Задача 2 ЕГЭ Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

(Ященко 36 вариантов 2023 Задача 2 из Варианта 13) 

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASD (см. рисунок ниже), в котором высота SH=6, угол SAH=60°, а угол ASH=30°. Тогда отрезок AH будет равен

Из рисунка видно, что треугольник ASD имеет два угла по 60°, следовательно, третий угол ASD также равен 60° и треугольник ASD равносторонний. В равностороннем треугольнике высота SH делит основание AD пополам, то есть AD=2AH и AD=4√3.

Для нахождения второй стороны основания рассмотрим прямоугольный треугольник SHG, в котором угол SGH=60° по условию задачи. Следовательно, угол HSG будет равен 30° (так как сумма углов в треугольнике всегда 180°). Аналогично находим длину HG:

Тогда площадь основания пирамиды будет равна

и объем пирамиды

Ответ: 48.