Задача 5 ЕГЭ На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих.

Задача 5 ЕГЭ На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

(Ященко 36 вариантов 2024 Задача 5 из Варианта 2)

Решение:

По очереди берём одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки, затем снова одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки. Нам нужно составить 2 чайные пары одного цвета. Подойдут следующие случаи:

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.

1) блюдце и чашка, блюдце и чашка — берём синее блюдце с первой полки (любое из 9, а всего 25 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 12, а всего 25 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 8 оставшихся, а всего 24 блюдца осталось) и синюю чашку со второй полки (любую из 11 оставшихся, а всего 24 чашки осталось). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:

$$p_{1}=\frac{9}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{8}{24}\cdot \frac{11}{24} = \frac{3\cdot11}{25\cdot25\cdot2}$$

2) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{2}=\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{15}{24}\cdot \frac{12}{24} = \frac{13}{25\cdot5}$$

3) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{3}=\frac{9}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{16}{24}\cdot \frac{13}{24} = \frac{13\cdot3}{25\cdot25}$$

4) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{4}=\frac{9}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{16}{24}\cdot \frac{12}{24} =\frac{13\cdot3}{25\cdot25}$$

5) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{5}=\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{9}{24}\cdot \frac{12}{24} =\frac{13\cdot3}{25\cdot25}$$

6) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{6}=\frac{16}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{9}{24}\cdot \frac{13}{24} =\frac{13\cdot3}{25\cdot25}$$

Нужная нам вероятность: $$p=p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6}$$

При подстановке можно заметить, что последние 4 вероятности равны между собой, поэтому можно написать $$p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6} = 4\cdot p_{3}$$

Тогда искомая вероятность:

$$p=\frac{3\cdot11}{25\cdot25\cdot2} + \frac{13}{3\cdot25} + 4\cdot\frac{13\cdot3}{25\cdot25}$$

$$p=0,38$$

Ответ:0,38