Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Как понять, что нужно использовать формулу полной вероятности? Есть несколько признаков: в условии сразу несколько вероятностей; не говорится из какого точно оружия производится выстрел.

Пусть будут две гипотезы:

\( H_{1} \) = {выстрел произведён из пристрелянного пистолета} 

\( H_{2} \) = {выстрел произведён из не пристрелянного пистолета} 

Эти две гипотезы несовместны, то есть только одно из событий может произойти, значит они образуют полную группу.

Нам нужно найти вероятность того, что Джон промахнётся. Обозначим это событие как \(A\)

Введём события, которые могут произойти только с нашими гипотезами:

\( A\vert H_{1} \) = {Джон промахнётся, выстрелив из пристрелянного пистолета}

\( A\vert H_{2} \) = {Джон промахнётся, выстрелив из не пристрелянного пистолета}

Посчитаем вероятности наших гипотез по классическому определению вероятности:

\( P(H_{1}) = \frac{3}{10}=0,3\) - всего 10 пистолетов, из них 3 пристрелянных.

\( P(H_{2}) = \frac{7}{10}=0,7\) - всего 10 пистолетов, из них 7 не пристрелянных.

Не забываем проверить, что сумма вероятностей гипотез равна 1: \( P(H_{1}) + P(H_{2}) = 0,3 + 0,7 = 1\)

Вычислим условные вероятности \( A\vert H_{1} , A\vert H_{2} \):

1) Так как Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9 из пристрелянного пистолета, то с вероятностью 1-0,9=0,1 он промахнётся. Поэтому \( P(A\vert H_{1}) = 0,1\) 

2) Так как Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,2 из не пристрелянного пистолета, то с вероятностью 1-0,2=0,8 он промахнётся. Поэтому \( P(A\vert H_{2}) = 0,8\) 

Применим формулу полной вероятности:

$$P(A)=P(H_{1})\cdot P(A\vert H_{1})+P(H_{2})\cdot P(A\vert H_{2}) = 0,3 \cdot 0,1 + 0,7 \cdot 0,8 = 0,59$$

Ответ: 0,59

Ниже генератор подобных задач - жмешь кнопку, получаешь несколько задач с ответом. Можешь решать и тренироваться. Генератор работает "как есть" и может глючить иногда.