Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

Теория

Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида

\frac{f(x)}{g(x)}\vee 0, где \vee - один из знаков <,\;\leq,\;>,\;\geq и f(x),\; g(x) - рациональные выражения.

Заметим, областью определения дробно-рационального выражения \frac{f(x)}{g(x)} является g(x)\neq 0.

Мы сведем решение дробно-рациональных неравенств к решению рациональных неравенств методом интервалов следующим образом:

Неравенство \frac{f(x)}{g(x)}>0 равносильно неравенству f(x)\cdot g(x)>0

Неравенство \frac{f(x)}{g(x)}<0 равносильно неравенству f(x)\cdot g(x)<0

Неравенство \frac{f(x)}{g(x)}\leq 0 равносильно неравенству f(x)\cdot g(x)\leq 0, при условии g(x)\neq 0

Неравенство \frac{f(x)}{g(x)}\geq 0 равносильно неравенству f(x)\cdot g(x)\geq 0, при условии g(x)\neq 0

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: \frac{x-2}{3x+5}\leq 0

Решение:

Неравенство \frac{x-2}{3x+5}\leq 0 равносильно следующей системе:\begin{cases} (x-2)(3x+5)\leq 0,& &3x+5\neq 0; \end{cases}Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку x=-\frac{5}{3}.yuiОтвет: (-\frac{5}{3};2].

Пример 2.

Решить неравенство: \frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2}>0

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующему:(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)(x^2+x-2)>0Разложим на множители последнюю скобку неравенства:x^2+x-2=(x-1)(x+2)А вот  квадратный трехчлен (3x-7-x^2) на множители не раскладывается, так как D<0.Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в (3x-7-x^2), –  получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину (3x-7-x^2), при этом поменяв знак неравенства на <.Итак, решаем следующее неравенство(x-4)(x-3)(x-1)(x+2)<0, равносильное исходному.

lk

Ответ: (-2;1)\cup(3;4).

Пример 3.

Решить неравенство: \frac{x^3+5x-6}{x+2}\geq 0

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:\begin{cases} (x^3+5x-6)(x+2)\geq 0,& &x+2\neq 0; \end{cases}Заметим,x^3+5x-6=x^3-x+6x-6=x(x^2-1)+6(x-1)==x(x-1)(x+1)+6(x-1)=(x-1)(x^2+x+6)При этом x^2+x+6>0 на R.То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на x^2+x+6):(x-1)(x+2)\geq 0 при условии, что x+2\neq 0.

Поэтому

wsdf

Ответ: (-\infty;-2)\cup[1;+\infty).

Пример 4.

Решить неравенство: \frac{2x+3}{x^2+x-12}\leq \frac{1}{2}

Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести \frac{1}{2} влево и привести к общему знаменателю:\frac{2x+3}{x^2+x-12}-\frac{1}{2}\leq 0\frac{2(2x+3)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)}\leq 0\frac{4x+6-x^2-x+12}{2(x^2+x-12)}\leq 0\frac{-x^2+3x+18}{2(x^2+x-12)}\leq 0Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства:

\frac{x^2-3x-18}{2(x^2+x-12)}\geq 0

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

\begin{cases} (x^2-3x-18)(x^2+x-12)\geq 0,& &x^2+x-12\neq 0; \end{cases}

Далее, после разложения на множители, имеем:

\begin{cases} (x-6)(x+3)(x-3)(x+4)\geq 0,& &(x-3)(x+4)\neq 0; \end{cases}

ghj

Ответ: (-\infty;-4)\cup[-3;3)\cup[6;+\infty).

Пример 5.

Решить неравенство: \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}\geq \frac{1}{x}

Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести \frac{1}{x} влево и привести  все три дроби к общему знаменателю:\frac{x(x-1)+x(x-2)-(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)x}\geq 0Производим преобразования:

\frac{x^2-x+x^2-2x-x^2+3x-2}{(x-2)(x-1)x}\geq 0

\frac{x^2-2}{(x-2)(x-1)x}\geq 0

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

\begin{cases} (x^2-2)(x-2)(x-1)x\geq 0,& &(x-2)(x-1)x\neq 0; \end{cases}

После разложения на множители в первой строке системы имеем:

\begin{cases} (x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-1)(x-2)x\geq 0,& &(x-2)(x-1)x\neq 0; \end{cases}

rf

Ответ: [-\sqrt2;0)\cup(1;\sqrt2]\cup(2;+\infty).

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *