Маминов.рф

Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Решение дробно-рационального неравенства методом интервалов

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

Теория

Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида

, где  один из знаков  и  рациональные выражения.

Заметим, областью определения дробно-рационального выражения  является .

Мы сведем решение дробно-рациональных неравенств к решению рациональных неравенств методом интервалов следующим образом:

Неравенство  равносильно неравенству 

Неравенство  равносильно неравенству 

Неравенство  равносильно неравенству , при условии 

Неравенство  равносильно неравенству , при условии 

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: 

Решение:

Неравенство  равносильно следующей системе:Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку .Ответ: .

Пример 2.

Решить неравенство: 

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующему:Разложим на множители последнюю скобку неравенства:А вот  квадратный трехчлен  на множители не раскладывается, так как .Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в , –  получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину , при этом поменяв знак неравенства на .Итак, решаем следующее неравенство, равносильное исходному.

Ответ: .

Пример 3.

Решить неравенство: 

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:Заметим,При этом  на R.То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на ): при условии, что .

Поэтому

Ответ: .

Пример 4.

Решить неравенство: 

Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести  влево и привести к общему знаменателю:Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

Далее, после разложения на множители, имеем:

Ответ: .

Пример 5.

Решить неравенство: 

Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести  влево и привести  все три дроби к общему знаменателю:Производим преобразования:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

После разложения на множители в первой строке системы имеем:

Ответ: .

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье