Задача 4 (профиль) или задача 10 (база) сборник задач по теории вероятности

Задача 4 (профиль) или задача 10 (база) сборник задач по теории вероятности

Ниже для вас собран сборник задач по теории вероятности для подготовки к решению задачи 4 ЕГЭ по математике из профиля или задачи 10 из базы. Можно потренироваться решать задачи, разобрав решения из этого сборника. Это не означает, что нужно ограничиваться именно ими, они даны только для тренировки и отработки навыка решения.

Задача 1.

В некоторой местности наблюдения показали:

  • Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
  • Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.
  • Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение.

Найдем вероятность того, что утро пасмурное (0,3) и дождя не будет (1-0,4) или утро ясное (1-0,3) и дождя не будет (1-0,1).

0,3*(1- 0,4) + 0,7*(1-0,1) = 0,3*0,6 + 0,7*0,9 = 0,18+0,63 = 0,81

Если события соединены связкой И, то вероятности этих событий перемножаются. Если  события соединяются связкой ИЛИ, то вероятности этих событий складываются.

Задача 2.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

Событие Х — «Играя белыми одну партию, А. выигрывает».

Событие У — «Играя черными одну партию, А. выигрывает».

Рассмотрим событие (Х и У).

Р(Х и У) = Р(Х)*Р(У) = 0,6*0,4=0,24.

Ответ: 0,24

Задача 3.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

Решение.  Переводим %% в дроби.

Событие А — «Куплено стекло первой фабрики». Р(А)=0,3

Событие В — «Куплено стекло второй фабрики». Р(В)=0,7

Событие Х — » Стекло бракованное».

Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009 — вероятноcть того, что купленное стекло сделано первой фабрикой И оно бракованное.

Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 — вероятность, что стекло со 2-й фабрики И оно бракованное.

По формуле полной вероятности:

Р = 0.009+0.028 = 0.037

Ответ: 0,037



Задача 4.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.   Вероятность того, что взятая наугад батарейка исправна, равна 1-0,06 = 0,94

Р = 0,94*0,94 — вероятность, что и первая и вторая исправны

Ответ: 0,8836

Задача 5.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Решение.

Вероятность, что готовая батарейка исправна равна 1-0,02=0,98

Р1= 0,02*0,99 = 0,0198 — вероятность, что неисправную батарейку забракуют

Р2= 0,98*0,01 = 0,0098 — вероятность, что исправная батарейка будет забракована

Р=Р1+Р2 = 0,0296

Ответ: 0,0296

Задача 6.

Вероятности того, что деталь определенного типа находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.

Решение. Не более, чем в 3-х ящиках означает, что деталь находится в одном, двух или трех ящиках. Противоположное событие — деталь находится во всех четырех ящиках. Найдем вероятность этого противоположного события.

Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 — 0,3024 = 0,6976

Ответ: 0,6976

Задача 7.

Вероятность того,  что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей,  будет  бракованной  равна  0,2.    Найти  вероятность  того,    что  из  трех  взятых  деталей  2 окажутся не бракованными.

Решение. Вероятность, что деталь бракованная равна 0,2, что деталь без брака равна 1-0,2=0,8.

Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 — вероятность того, что первая деталь бракрованная, а вторая и третья нет.

Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 — вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 — третья бракованная.

Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384

Ответ: 0,384

Задача 8.

На  рисунке  изображён  лабиринт.  Паук  заползает  в  лабиринт  в  точке  «Вход».
Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает
путь,  по  которому  ещё  не  полз.  Считая  выбор  дальнейшего  пути  случайным,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

 

Решение. Исход — выбор направления на разветвлении. На первом разветвлении у паука 2 есть исхода, вероятность каждого 1/2. С вероятностью 0,5 он поползет к выходу D.

Ответ: 0,5

Задача 9.

Механические  часы  с  двенадцатичасовым  циферблатом  в  какой‐то  момент

сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла,

достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. (Из трен. вар. 22)

Решение.  Благоприятный диапазон —  3 промежутка (10-11, 11-12, 12-1), весь диапазон —  12 промежутков.

Р = 3/12 =1/4=0,25

Ответ:  0,25



Задача 10.

На рисунке изображён лабиринтПаук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А. (Из трен. вар. 23)

 

Решение. На каждом разветвлении вероятность выбора направления равна 0,5. К выходу А есть 2 пути. На одном — паук делает выбор 5 раз, а на втором —  3 раза, с вероятностью 0,5 каждый раз.

Р = 0,55 +0,53 = 0,53(0,25+1) = 0,125*1,25 = 0,15625

Ответ:  0,15625

Задача 11.

Всем  пациентам  с  подозрением  на  гепатит  делают анализ крови. Если анализ выявляет  гепатит,  то  результат  анализа  называется положительным.  У  больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с  вероятностью  0,01.  Известно,  что  5%  пациентов,  поступающих  с  подозрением  на гепатит,  действительно  больны  гепатитом.  Найдите  вероятность  того,  что  результат анализа  у  пациента,  поступившего  в  клинику  с  подозрением  на  гепатит,  будет положительным

Решение.

Вероятность того, что поступивший болен гепатитом равна 0,05, а что  не болен — равна 0,95.

Умножаем в каждом случае на вероятность положительного результата: 0.9 для больного и 0,01 для здорового.

Р= 0,05*0,9 + 0,95*0,01 = 0,0545

Ответ:  0,0545

Задача 12.

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение. Исход — выбор 2-х человек из 5. Количество исходов С52 = 5!/(2!*3!) = 5*4/2 = 10.

Благоприятный исход: Турист А с кем-то в паре. Таких исходов 4.

Р = 4/10 = 0,4

Ответ: 0,4

Задача 13.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение. В одной игре команда «Физик» имеет 2 исхода: начинает игру или начинает не она. Т.к. игр три, то всего исходов 23=8.

Будем обозначать благоприятный исход — 1, не благоприятный 0.

Для трех игр расстановка исходов такая:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Среди них благоприятных 3:  011, 101, 110.

Р=3/8 = 0,375.

Задача 14.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или …  k-м выстреле.

Будем вычислять вероятность уничтожения при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3… И суммируя полученные вероятности

k=1     P=0,4                S=0,4

k=2     P=0,6*0,6=0,36  — при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена

S=0,4+0,36=0,76

k=3     P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 — цель уничтожена при третьем выстреле

S=0,76+0,144=0,904

k=4     P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 — при 4-м

S=0,904+0,0576=0,9616

k=5     P=0,6*0,43*0,6 = 0,02304

S=0,9616+0,02304=0,98464    —  достигли нужной вероятности при k=5.

Ответ:  5.

Задача 15.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение.  4 очка и больше в двух играх  можно набрать такими способами:

3+1   выиграла, ничья

1+3   ничья, выиграла

3+3   оба раза выиграла

Вероятность выигрыша равна 0,4, проигрыша — 0,4, вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4 = 0,2.

Р = 0,4*0,2 + 0,2*0,4 + 0,4*0,4 = 2*0,08+0,16 = 0,32

Ответ: 0,32



Задача 16.

На сборку поступают детали с двух автоматов: с первого – 70%, со второго – 30%. При этом незначительные дефекты с первого автомата в 10% случаев, а со второго – в 20%. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет незначительный дефект.

Решение.  Пусть всего х деталей, тогда с 1-го станка поступило 0,7х деталей и среди них 0,7х*10%=0,7х*10/100=0,07х с дефектами.

Со второго станка поступило 0,3х деталей и среди них 0,3х*20/100=0,06х с дефектами.

Всего в партии деталей с дефектами 0,07х+0,06х=0,13х.

По формуле классической вероятности Р= 0,13х/х=0,13

Ответ: 0,13

Задача 17.

В магазин поступают изделия с 4-х фабрик. 1-я, 2-я, 3-я, 4-я поставляют соответственно 10, 20, 30, 40 %.  Среди изделий 1, 2, 3, 4-й фабрик соответственно 0,08, 0,08, 0,05, 0,06 бракованных. Найти вероятность того, что купленное изделие является качественным.

Решение. Вероятность купить изделие 1-й фабрики 10% или 0,1, вероятность, что оно качественное равна 1-0,08=0,92.

Вероятность купить качественное изделие первой фабрики Р1=0,1*0,92=0,092.

Аналогично, вероятность купить качественное изделие 2-й фабрики равна

Р2= 0,2*(1-0,08)=0,184.

Р3=0,3*(1-0,05)=0,285     — 3-й

Р4=0,4*(1-0,06)=0,376     — 4-й

Вероятность купить качественное изделие равна сумме вероятностей:

0,092 + 0,184 + 0,285 + 0,376=0,937

Задача 18.

В аквариуме из 12 рыбок 4 золотых. Какова вероятность того, что из случайно отловленных 3-х рыбок 1 золотая?

Решение. В аквариуме 4 золотые рыбки, — обычные. Исходом считаем выбор трех любых рыбок, а благоприятным исходом — выбор одной золотой рыбки и двух простых.

Найдем количество благоприятных исходов.

Количество способов выбрать 1 золотую рыбку из 4-х равно 4.

Количество способов выбрать 2 простые рыбки из 8 равно С82=8!/(2!*6!) = 8*7*6*5*4*3*2*1/(2*6*5*4*3*2)= 8*7/2=28. Всего благоприятных исходов m=4*28=112.

Количество всех исходов n=C123 = 12!/(3!*9!) = 12*11*10/(1*2*3)=220.

P= m/n = 112/220 = 0,509… ≈ 0,51

Задача 19.

В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны на угад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет: а) два белых шара; б) два черных шара; в) один черный и один белый.

Решение.

a) Вероятность, что первый шар белый Р=5/9

Осталось 4 белых, всего 8 шаров, вероятность вытащить второй белый = 4/8=1/2

Р=5/9*1/2 = 5/18 =0,28

б) Р=4/9 * 3/8 = 1/6

в) Вероятность, что первый черный, а второй белый Р=4/9 * 5/8 = 5/18

Вероятность, что первый белый, а второй черный Р=5/9 * 4/8 = 5/18

Окончательно, вероятность, что 1 белый и один черный Р=5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9

Задача 20.

В урне 2 белых и 8 черных шаров. Из урны извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары черного цвета? одинаковые? разных цветов?

Решение.

Всего шаров в первой урне 10.

1) Вероятность извлечь первым черный шар из первой урны равна 8/10, останется 9 шаров, из них 7 черных. Вероятность извлечь черны шар равна 7/9.

Вероятность того, что первый черный и второй черный Р1=8/10*7/9= 28/45 = 0,6222..≈ 0,62 

2) Аналогично находим, что оба шара белые.

Р2 = 2/10 * 1/9 = 1/45 ≈ 0,02

Вероятность, что оба шара одного цвета (или оба черные или оба белые) равна

Р = Р1+Р2 = 28/45+1/45 = 29/45 = 0,64

3) Вероятность, что первый белый, а второй черный Р3= 2/10 * 8/9 = 8/45

Вероятность, что первый черный, а второй белый  Р4 = 8/10 * 2/9 = 8/45 

Р = Р3+Р4 = 16/45 = 0,35



Задача 21.

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй – 4 белых, 6 черных и 8 красных шаров, а в третьей – 6 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?

Решение.

1. Событие А — вынут красный шар.

Гипотезы Н1, Н2, Н3 — шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й,  третьей урны.  Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3

P(A|H1) = 4/12 = 1/3

P(A|H2) = 8/18=4/9

P(A|H3) = 0/12 = 0

P(A) = 1/3*(1/3+4/9+0) = 1/3* 7/9 = 7/27

P(H2|A) = P(H2)*P(A|H2)/P(A) = (1/3 * 4/9) / (7/27) = 4/7

Задача 22.

В первой урне находится 6 белых и 4 черных шаров, а во второй — 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую переложили один шар, после чего из второй урны извлекли один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

Решение.

Н1 — выбран белый шар из 1-й корзины

Н2 — выбран черный шар из 1-й корзины

А — выбран белый шар из 2-й корзины

Р(Н1) = 6/10 = 0,6

Р(Н2)= 4/10 = 0,4

Р(А/Н1) =6/10 = 0,6  {вероятность события А при условии, что произошло событие Н1}

Р(А/Н2) = 5/10 = 0,5 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н2}

Р(А) = Р(Н1)*Р(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) = 0,6*0,6 + 0,4*0,5 = 0,56

Р(Н1/А) = [ Р(А/Н1) * Р(А) ] / Р(Н1) = (0,6*0,56)/0,6 = 0,56

Ответ: 0,56

Задача 23.

В каждой из двух урн по 5 черных и 5 белых шара. Из первой во вторую урну переложили шар. Какова вяроятность того, что случайно выбранный из второй урны шар окажется белым?

Решение.   

Пусть событие А — из второй  урны вынут белый шар.
Рассмотрим гипотезы:

Н1 — из первой урны вынули белый шар
Н2 — из первой урны вынули черный шар

Р(Н1) = 5/10 = 0,5
Р(Н2) = 5/10 = 0,5

Р(А|H1) = 6/11  (во второй урне стало 6 белых 5 черных)
P(A|H2) = 5/11  (во 2-й урне стало 5 белых и 6 черных).

P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) = 0,5*6/11 + 0,5*5/11 = 0,5

Ответ: 0,5

Задача 24.

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся все белые шары, во второй – черные, а в третьей – 2 белых и 1 черный шар. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?

Решение.

Событие А — вынут черный шар.

Гипотезы Н1, Н2, Н3 — шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й,  3-й урны.  Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3

P(A|H1) = 0 — вероятность вынуть черный шар при условии, что выбрана первая урна

P(A|H2) = 1  — вероятность вынуть черный шар из второй урны

P(A|H3) = 1/3 — вероятность вынуть черный шар из третьей урны

P(A) = 1/3*(0+1+1/3) = 1/3* 4/3 = 4/9

Найдем условную вероятность, что черный шар вынут из второй урны.

P(H2|A) = P(H2)*P(A|H2)/P(A) = (1/3 * 1) / (4/9) = 1/3 * 9/4= 3/4 = 0,75

Ответ: 0,75



Задача 25.

Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером два будет извлечен при втором извлечении.

Решение.

Событие А: извлекли первый шар с номером 1 (вероятность равна 1/5), то его не вернут, и вероятность вынуть затем шар №2 равна 1/4.

Р(А) =1/5*1/4=1/20.

Событие В: извлекли шар №»2 с вероятность 1/5, осталось 4 шара, вероятность вторым вынуть шар №2 равна 0.

Р(В)=1/5*0=0

Событие С: первым извлекли шар №3 или №4 или №5. Вероятность равна 3/5, вероятность вынуть вторым шар №2 равна 1/5 (так первый шар вернули).

Р(С)=3/5 * 1/5 = 3/25

Р= Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1/20+ 0 + 3/25 = 0,05+0,12 = 0,17

Ответ: 0,17

Задача 26.

В одном ящике 6 белых и 4 черных шара, в другом 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что а) шары черные; б) только один черный; в) хотя бы один черный.

Решение.

а) 4/10 — вероятность вытащить черный шар из 1-го ящика, 3/10 — вер. вытащить черный шар из 2-го.

Р=0,4*0,3=0,12 

б) Вер., что из первого ящика черный, а из второго белый Р1=4/10 *7/10=0,28

Вер., что из первого белый, а из второго черный Р2=6/10*3/10=0,18

Р=Р1+Р2=0,28+0,18=0,46

в) Найдем вероятность противоположного события: вытащили все белые.

р= 6/10 * 7/10=0,42

Тогда вероятность, что хотя бы 1 черный равна 1-р=1-0,42=0,58

 

Задача 27.

В урне 4 белых и 2 черных шара. Вытаскивают все шары по одному. Найти вероятность того, что черные шары вытащили последними.

Решение.

Найдем вероятность, что сначала вытащили все белые шары, тогда 2 последних будут черные.

Всего шаров 6. Вероятность, что первым вытащили белый шар равна 4/6=2/3.

Осталось 5 шаров: 3 белых, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар равна 3/5.

Осталось 4 шара: 2 белых, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар 2/4=1/2.

Осталось 3 шара: 1 белый, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар 1/3.

Вероятность того, что вытащили подряд 4 белых шара равна Р=2/3 * 3/5 * 1/2 * 1/3 = 1/15

Ответ: 1/15

 

Задача 28.

В урне 10 шаров в них 2 чёрных наудачу взято 3 найти вероятность того что среди выбранных шаров хотя бы один чёрный

Решение.

Найдем вероятность противоположного события: «Среди взятых трех шаров нет ни одного черного.»

Вероятность вытащить первый шар белый  Р1= 8/10. Осталось 9 шаров, из них 7 белых, вероятность вытащить второй белый шар  Р2=7/9. Осталось 8 шаров, среди них 6 белых. Р3=6/8.

Р=Р1*Р2*Р3=8/10 *7/9 *6/8 = 14/30=7/15.

Вероятность, что из трех шаров хотя бы 1 черный равна 1-Р=1-7/15=8/15.

Ответ: 8/15

Задача 29.

В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 — черные?

Решение.

Всего 8 шаров. Количество способов вынуть 5 шаров из 8 :

n=С85 = 8!/(5!*3!)=8*7*6/(2*3)= 56

Количество способов вынуть 2 белых из 4 белых:  С42=4!/(2!*2!) = 1*2*3*4/(2*2)= 6

Количество способов вынуть 3 черных из 4 черных:  С43=4!/(3!*1!)= 1*2*3*4*(1*2*3)=4

Количество способов вынуть 2 белых и 3 черных m=6*4=24

P=m/n=24/56=3/7

Задача 30.

В ящике 20 белых,15 черных,25 синих и 10 красных шаров. Какова вероятность того,что:

a) Наугад вынут шар черного цвета;
b) Наугад вынут шар черного или белого цвета;
в) Наугад вынут шар не красного цвета;
г) Оба вынутых наугад шара оказались красными;
д) Из двух вынутых наугад шаров хотя бы один оказался синего цвета.

Решение.

Всего шаров 70.

а) По формуле  Р=m/n, где n — количество всех шаров, m — количество черных шаров, получим Р= 15/70=3/14≈0,214

б) Черных+белых шаров = 20+15=35, m=35, n=70.

Р=35/70=0,5 

в) Не красных шаров 70-10=60, Р=60/70=6/7

г) Оба оказались красными. Вероятность события, что первый вытянутый шар  красный, равна 10/70=1/7. При этом останется  70-1=69 шаров, из них 9 красных. Вероятность события, что второй шар вытянут красный, равна 9/69 =3/23.

Вероятность, что произойдут оба этих события (и первый и второй — красные) равна произведению вероятностей. Р=1/7 * 3/23 = 3/161 ≈ 0,019

д) Найдем вероятность противоположного события — «ни один из двух шаров не синего цвета».

Всего шаров 70, 25 — синих, 45 — не синих.

Вероятность вытащить первый не синий шар р1=45/70=9/14, вероятность вынуть второй не синий р2=44/69. Вероятность, что оба не синих р1*р2=9/14 *44/69 = 66/161

Вероятность противоположного события, что хотя бы 1 синий равна Р= 1 — 66/161 = 95/161 ≈ 0,59 



Задача 31.

В урне 12 белых, 5 красных и 3 черных шара. Наудачу вынимается три шара. Найдите вероятность того, что а) все шары будут красными? б) хотя бы один шар будет черным? в) два шара будут белыми?

Решение.

а) В урне 5 красных шаров и 15 не красных. Всего 20 шаров. Найдем вероятность того, что все 3 вынутых шара будут красные.

Вероятность, что первый вынутый шар красный равна 5/20=1/4. После этого осталось 19 шаров, из них 4 красных. Вероятность вынуть красный шар равна 4/19.

Осталось 18 шаров, из них 3 красных. Вероятность вынуть третьим красный шар равна 3/18=1/6.

Т.к. все события должны произойти, то вероятность равна 1/4 * 4/19 * 1/6 = 1/114.

Можно решать комбинаторным способом: Р=С53203 = 5!/(3!*2!) / (20!/(3!*17!)), получим то же самое.

б) Найдем вероятность противоположного события: ни один вынутый шар из трех — не черный.

Всего 20 шаров, 17 не черных. Р1 =С17320= 17!/(3!*14!) / (20!/(3!*17!) = 17*16*15/(20*19*18) = 0,596

Р=1-Р1=1-0,596= 0,404

в) 12 белых, 8 не белых.

Р= С122*8 / С203    (количество способов выбрать 2 белых и один не белый делим на количество способов выбрать 3 любых шара из 20).

Р= 12!/(2!*10!) *8/(20!/(3!*17!) = 12*11/2 *8 /(20*19*18/6) = 66*8*6/(20*19*18)= 0,463

Задача 32.

В урне находится равное количество шаров красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов. Из урны последовательно 3 раза достают по одному шару, каждый раз возвращая его обратно. Найти вероятность того, что хотя бы два шара окажутся одинакового цвета.

Решение.

Шаров каждого цвета n, а всего шаров 5n. Шары вынимаются с возвращением. Выбрать 1 шар можно 5n способами.

Надо найти вероятность противоположного события — того, что все 3 вынутых шара будут разного цвета. А затем из  1 вычесть найденную вероятность.

Количество всех исходов 5n*5n*5n=125n3.

Количество наборов из трех разных цветов — С53. Набор — это три разных цвета для трех шаров, а т.к. шар любого цвета может быть выбран n cпособами, то количество благоприятных исходов равно С53* n*n*n.

P1 = C53 *n3 / (125n3) = 5!/(3!*2!) /125 = 10/125 = 0,08

P = 1 -P1= 1-0,08= 0,92

2-й способ. 

Т.к. количество шаров n — то положим n=1. найдем вероятность вынуть набор  красный, желтый и черный. Т.к. вынимаем с возращением, то вероятность вынуть любой шар равна 1/5, а вероятность вынуть указанный набор равна 1/5*1/5*1/5 = 1/125. Количество всевозможных наборов из трех разных шаров  равно  С53=10. По теореме о сумме вероятностей Р1=10/125 = 2/25.

Р= 1- 2/25 = 23/25= 0,92.

Задача 33.

Вероятность попадания стрелком в мишень при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и равна 0,8. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти вероятности следующих событий:

а) мишень поражена одной пулей;
б) мишень поражена двумя пулями;
в) зарегистрировано хотя бы одно попадание;
г) зарегистрировано не менее трех попаданий.

Решение.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.8, а вероятность не попадания равна 0,2.

а) По ф-ле Бернулли Р=0,8*0,24 *С51=0,8*0,24*5 =0,0064  (1 раз попал и 4 раза не попал)

б) По формуле Бернулли Р=0,8*0,8*0,23  *C52 = 0,82*0,23*5!/(3!*2!)=0,0512

в) Рассмотрим противоположное событие — не попал ни разу р=0,25.
Тогда вероятность попадания хотя бы 1 раз равна Р= 1- 0,25

г) не менее трех означает, что  попал 1 или 2 или 3 раза
Р = 5*0,8*0,24 + С52*0,82*0,33 + С53*0,83*0,22

Задача 34.

Вероятность попадания стрелком в цель при выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Чему равна вероятность того,что ему потребуется:
а)три выстрела
б)не более трех выстрелов

Решение. 

Вероятность не  попадания при выстреле равна 1-0,7=0,3

а) 0,3*0,3*0,7=0,063 — первые 2 раза не попал, а третий раз попал.

б) не более трех — это значит, что потребуется 1 или 2 или 3 выстрела

для каждого случая считаем вероятности и их складываем

0,7+0,3*0,7+0,3*0,3*0,7=0,7+0,21+0,063=0,973

Задача 35.

Вероятность промаха при одном выстреле 0,4.  Чему равно среднее число попаданий при 20 выстрелах?

Решение.

0,6  -вероятность попадания при одном выстреле, это 60% попаданий.

20*60%=20*0,6=12

Ответ: 12 попаданий



Задача 36.

Снаряд уничтожает цель с вероятностью 0,8. Сколько надо выпустить снарядов по цели, чтобы уничтожить цель с вероятностью 0,99?

Решение.

Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,2, при каждом следующем выстреле такая же.
Подсчитаем количество выстрелов х, при которых цель не будет уничтожена
с вероятностью менее 1-0,99=0,01.

x=1   p1=0,2 — вероятность промаха при одном выстреле

x=2   p2=0,2*0,2=0,04 — вероятность промаха при 2-х выстрелах.

х=3   р3=0,2*0,2*0,2=0,008 — вероятность промаха при трех выстрелах, что меньше 0,01.

Значит х=3

Ответ: 3.

2-й способ.

Вероятность поражения цели при х выстрелах равна сумме вероятностей поражения цели при одном или 2-х или 3-х и т.д. или при х выстрелах.

1) Вероятность поражения цели при одном первом выстреле равна р1=0,8,

2) Вероятность промаха при первом и поражения при втором равна р2=0,2*0,8=0,16.

Вероятность поражения при первом или втором рана 0,8+0,16=0,96

3) Вероятность промаха при первом и втором и поражении при третьем равна

р3=0,2*0,2*0,8=0,032

Вероятность поражения при первом или втором или третьем равна

р1+р2+р3=0,8+0,16+0,032= 0,992 >0,99

Значит, необходимо сделать 3 выстрела.

Ответ: 3.

Задача 37.

Вероятность попадания одной ракеты в цель равна р = 0,7. Для поражения цели достаточно одного попадания. Сколько следует выполнить пусков ракет, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99?

Решение.

Рк — вероятность попадания при к-том выстреле

Р1=0,7

Р2=0,3*0,7=0,21 — первый раз ракета не попала, второй попала

Р1+Р2=0,91 — вероятность, что попала при первом или втором выстреле.

Получили меньше 0,99

Вычисляем Р3 и находим новую сумму.

Р3=0,3*0,3*0,7 = 0,063   — 2 раза не попала, третий попала

Р1+Р2+Р3=0,91+0,063=0,973  — мало

Р4=0,3*0,3*0,3*0,7=0,0441 — 3 раза не попала, 4-й раз попала

Р1+Р2+Р3+Р4=0,973+0,0441= 1,0171  > 1 значит, при четырех выстрелах ракета наверняка попадет

Ответ: 4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *