ОГЭ 2024 Постройте график функции y=(x^4-13x^2+36)/(x-3)(x+2)

Постройте график функции $$y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$$

и определите, при каких значениях параметра c прямая y=c имеет с графиком функции ровно одну общую точку

(ФИПИ 2023)

Решение:

1. Так как на нуль делить нельзя, то область определения функции: $$x\in (-\infty;-2) \cup (-2;3) \cup (3;+\infty)$$

2. Разложим на множители числитель. Для этого приравняем его к нулю, сделав замену x²=t

$$x^4-13x^2+36 = t^2-13t+36 = (t-9)(t-4) = (x^2-9)(x^2-4) =(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)$$

3. Теперь мы можем упростить нашу функцию с учётом ограничений:

$$y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=$$

$$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$$

4. Значит, графиком исходной функции будет парабола с вершиной $$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1)}{2}=-0,5$$ $$y=-6,25.$$ На нашей параболе будут выколотые точки при х=-2 и x=3.

5. Прямая y=с - горизонтальная прямая. Нужно её провести так, чтобы было ровно одно пересечение с построенным графиком. Это возможно при y = - 4 и y = 6, плюс в вершине параболы y = - 6,25. Соответственно, эти же значения принимает и с.

Ответ: с = - 6,25; -4; 6