ОГЭ 2024 Постройте график функции y=2x-4 -x^2+2x+5

Постройте график функции $$y = \begin{cases} 2x-4 & \text{если x > 3} \\ -x^2+2x+5 & \text{если x ≤ 3} \end{cases}$$

Определите, при каких значениях m, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Решение:

1. Построим график функции y = 2x-4 с учётом ограничений x>3. Это прямая, для построения которой достаточно двух точек. Например, (3;2) и (4;4). Слева в точке (3;2) будет "выколотая" точка, с учётом ограничений.

2. Построим график функции $$y=-x^2+2x+5$$ - это парабола, с ветвями вниз (из-за минус 1 перед икс квадрат). Найдём вершину: $$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2(-1)}=1$$ $$y=6,$$ и с учётом ограничений x≤3 строим нашу параболу. Она проходит таким образом, что перекрывает "выколотую" точку в (3;2) предыдущего графика.

3. Прямая y=m - горизонтальная прямая. Нужно её провести так, чтобы было ровно два пересечения с построенным графиком. Это возможно при y = 2 или y = 6. Соответственно, эти же значения принимает и m.

Ответ: m = 2, m = 6