Школьник загадал два числа, оба строго больше единицы, такие, что сумма данных чисел меньше 99

Занимательные задачи

09:34, 11 июль 2026

138

👉 Учебник математики 👉 Вакансии 👉 Полезные телеграм каналы 👉 Занимательная математика в телеграм 👉 Занимательная математика в ВК

Школьник загадал два числа, оба строго больше единицы, такие, что сумма данных чисел меньше 99 Одному академику назвал их произведение, другому академику назвал их сумму.

Диалог академиков (начинает тот, кто знает сумму):

- Я понятия не имею, какое у вас произведение.

- Я знаю, что вы не знаете, какое у меня произведение.

- Теперь я знаю эти числа.

- Теперь и я их знаю.

Вопрос: какие это числа?

Решение:

Человек, знающий произведение, не смог ответить сразу, что это за числа, значит: а) это не были два простых числа; б) в произведении не участвовали простые числа больше 50 (иначе множители определялись бы однозначно!)

Человек, знающий сумму, заранее знал, что у его партнера не получится определить числа. Это означает, что сумма, которую он знал, была такой: а) её невозможно было разбить на два простых слагаемых. б) сумма не была больше определенного числа(сейчас его вычислим), иначе одним из слагаемых могло бы стать какое-то простое число большее 50.

Чтобы сузить круг «подозреваемых сумм», заметим, что два простых слагаемых либо в сумме дадут четное число, либо одно из них — 2, причем во втором варианте второе слагаемое — составное!

Итак, перебор показал, что таких сумм не так уж и много:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53

Первый понял, что сумма чисел — из вышеперечисленных. Произведение было таким, что из всех названных сумм только одна давала однозначный результат. Поскольку все возможные суммы — нечетные, то и в произведении одно число было четным, а второе — нечетным. Более того, для однозначности первый множитель должен быть простым, а второй — степенью двойки! Итак, нам нужно отобрать все суммы, однозначно представимые в виде простое число + степень двойки:
11=3+8=7+4 — отпадает
17=13+4 — подходит
23=19+4=7+16 — отпадает
27=11+16=23+4 — отпадает
29=13+16 — подходит
35=19+16=31+4 — отпадает
37=29+8=5+32 — отпадает
41=37+4 — подходит
47=31+16=43+4 — отпадает
51=47+4=19+32 — отпадает
53=37+16 — подходит.
Итак, однозначные суммы: 17, 29, 41, 53.
Одна из этих сумм распадается на множители однозначно. Выберем, какая же: 17: 2*15=6*5 — отпадает, так как 6+5=11, а 15+2=17. И та и та сумма были в списке, а значит первый не мог выбрать одну из сумм; 3*14=2*21 — отпадает, так как 3+14 и 2+21 были в списке сумм и выбрать одну из них первый не мог; 4*13 — подходит; 5*12=3*20 — отпадает; 6*11=2*33 — отпадает; 7*10=2*35 — отпадает; 8*9=3*24 — отпадает. Итак, подходит только 4*13.
Аналогично перебирая все остальные суммы, получим единственный ответ — 4 и 13.

Ответ: 4 и 13