ОГЭ 2024 Постройте график функции y=x^2-6x+10 y=x+2

Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2-6x+10 & \text{если x ≥ 1} \\ x+2 & \text{если x < 1} \end{cases}$$

Определите, при каких значениях m, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

(Реальный ОГЭ 2022)

Решение:

1. Построим первый график $$y=x^2-6x+10$$ - это у нас парабола. Найдём координаты вершины $$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-(-6)}{2}=3$$ $$y=1,$$ ветви направлены вверх. Но мы можем построить его только с учётом ограничений x ≥ 1

2. Далее строим график $$y=x+2,$$ это прямая, достаточно двух точек для построения. График строится с учётом ограничений x < 1. Поэтому правый конец заканчивается "выколотой" точкой.
3. Прямая y=m - горизонтальная прямая. Нужно её провести так, чтобы было ровно два пересечения с построенным графиком. Это возможно при y = 1 или любом значении y от 3 до 5 включительно (так как при y = 3 прямая заканчивается "выколотой" точкой.). Соответственно, эти же значения принимает и m.

Ответ: $$m\in {1} \cup [3;5]$$