Задача 5 ЕГЭ Стрелок стреляет по 7 одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. 0,6

Стрелок стреляет по 7 одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0.6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»? 

Решение:

Так как на каждую мишень тратится по 2 выстрела с вероятностью поразить ее p = 0,6, то вероятность поражения цели при двух выстрелах можно вычислить как:

попадание + промах, попадание или p = 0,6 + 0,4 · 0,6 = 0,84 = \( \frac{84}{100}\)

Следовательно, вероятность поражения пяти мишеней из семи (в произвольном порядке), равна (по формуле Бернулли):

$$p_{5}=C_{7}^5 \cdot p^5 \cdot (1-p)^{7-5}$$

где \( C_{n}^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) - число сочетаний из n по k. Имеем:

$$C_{7}^5 = \frac{7!}{5! \cdot (7-5)!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5 \cdot6 \cdot7}{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5 \cdot1 \cdot2} = 21$$

$$p_{5}=21 \cdot (\frac{84}{100})^5 \cdot (1-\frac{84}{100})^2=21 \cdot (\frac{84}{100})^5 \cdot (\frac{16}{100})^2$$

С другой стороны, вероятность поражения ровно четырёх мишеней из семи, равна (по формуле Бернулли):

$$p_{4}=C_{7}^4 \cdot p^4 \cdot (1-p)^{7-4}$$

Имеем:

$$C_{7}^4 = \frac{7!}{4! \cdot (7-4)!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5 \cdot6 \cdot7}{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot1 \cdot2 \cdot3} = 35$$

$$p_{4}=35 \cdot (\frac{84}{100})^4 \cdot (1-\frac{84}{100})^3=35 \cdot (\frac{84}{100})^4 \cdot (\frac{16}{100})^3$$

Отношение этих вероятностей, равно: 

$$\frac{p_{5}}{p_{4}}=\frac{21 \cdot (\frac{84}{100})^5 \cdot (\frac{16}{100})^2}{35 \cdot (\frac{84}{100})^4 \cdot (\frac{16}{100})^3}=3,15$$

Ответ: \( 3,15 \)