Задача 5 ЕГЭ Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. 0,6

Задача 5 ЕГЭ Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

(Ященко 36 вариантов 2024 Задача 5 из Варианта 3)

Решение:

Так как на каждую мишень тратится по 2 выстрела с вероятностью поразить ее p = 0,6, то вероятность поражения цели при двух выстрелах можно вычислить как:

попадание + промах, попадание или p = 0,6 + 0,4 · 0,6 = 0,84 = \( \frac{84}{100}\)

Следовательно, вероятность поражения двух мишеней из пяти (в произвольном порядке), равна (по формуле Бернулли):

$$p_{2}=C_{5}^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{5-2}$$

где \( C_{n}^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) - число сочетаний из n по k. Имеем:

$$C_{5}^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5}{1 \cdot2 \cdot1 \cdot2 \cdot3} = 10$$

$$p_{2}=10 \cdot (\frac{84}{100})^2 \cdot (1-\frac{84}{100})^3=10 \cdot (\frac{84}{100})^2 \cdot (\frac{16}{100})^3$$

С другой стороны, вероятность поражения одной мишени из пяти, равна (по формуле Бернулли):

$$p_{1}=C_{5}^1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^{5-1}$$

Имеем:

$$C_{5}^1 = \frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5}{1 \cdot1 \cdot2 \cdot3 \cdot4} = 5$$

$$p_{1}=5 \cdot (\frac{84}{100})^1 \cdot (1-\frac{84}{100})^4=5 \cdot (\frac{84}{100})^1 \cdot (\frac{16}{100})^4$$

Отношение этих вероятностей, равно: 

$$\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{10 \cdot (\frac{84}{100})^2 \cdot (\frac{16}{100})^3}{5 \cdot (\frac{84}{100})^1 \cdot (\frac{16}{100})^4}=10,5$$

Ответ: \( 10,5 \)