Пересечение, объединение множеств и событий, противоположные события. Формула сложения вероятностей

Статья и презентация по теме "Пересечение, объединение множеств и событий, противоположные события. Формула сложения вероятностей" к 7 уроку по Вероятности и статистике в 10 классе, углубленный уровень.

Пересечение множеств

Пересечение множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. Пересечение множеств A и B обозначается как \(A \cap B \)

Пример: Пусть \(A = \{1, 2, 3, 4\} \) и \(B = \{3, 4, 5, 6\}\). Тогда пересечение \(A \cap B = \{3, 4\} \), так как числа 3 и 4 принадлежат обоим множествам.

Объединение множеств

Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Объединение множеств A и B обозначается как \(A \cup B \).

Пример: Пусть \(A=\{1,2,3,4\}\) и \(B=\{3,4,5,6\}\). Тогда объединение \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), так как это множество содержит все элементы из обоих множеств.

Пересечение и объединение событий

В теории вероятностей пересечение и объединение событий определяются аналогично пересечению и объединению множеств.

• Пересечение событий A и B (обозначается \(A \cap B \) ) — это событие, при котором происходят оба события A и B

• Объединение событий A и B (обозначается \(A \cup B \) ) — это событие, при котором происходит хотя бы одно из событий A или B

Противоположные события

Противоположное событие \( \bar{A} \) к событию A — это событие, которое происходит, если событие A не происходит.

Пример: Если событие A — это выпадение орла при подбрасывании монеты, то противоположное событие \( \bar{A} \) — это выпадение решки.

Формула сложения вероятностей

Формула сложения вероятностей используется для вычисления вероятности объединения двух событий. Если A и B — два события, то вероятность их объединения \( P(A \cup B) \) вычисляется по формуле:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Эта формула учитывает, что при сложении вероятностей \( P(A) \) и \( P(B) \) вероятность пересечения \(P(A \cap B)\)учитывается дважды, поэтому её нужно вычесть.

Пример: Пусть вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты \( P(A)=0.5 \), а вероятность выпадения числа 5 при бросании кубика \( P(B) = \frac{1}{6} \). Если эти события независимы, то вероятность их пересечения \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \).

Тогда вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из этих событий:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \)

Заключение

Понимание пересечения и объединения множеств и событий, а также противоположных событий и формулы сложения вероятностей является важной частью теории вероятностей и помогает решать множество практических задач. Эти концепции находят применение в различных областях науки, техники и повседневной жизни.