Метод интервалов для целых рациональных неравенств

Метод интервалов

15:01, 12 октябрь 2019

2 302

Как решать дробно-рациональные неравенства в следующей статье Для того, чтобы увидеть в действии метод интервалов, давайте решим простенькое неравенство, не пользуясь данным методом, а следуя простым правилам. Решим неравенство $(x+6)(x-5)>0$ . Вспоминаем правило: произведение множителей дает знак «+», когда

оба множителя положительны;
оба множителя отрицательны.

В итоге имеем совокупность двух систем неравенств:

В первой системе получаем:

$x\in(5; +\infty)$ Во второй системе получаем:

$x\in(-\infty;-6)$ Объединяем полученные решения первой и второй систем: Ответ: $x\in(-\infty;-6)\cup(5; +\infty)$ Это при условии, что множителей два. А что делать, если их 3-4, а может и больше? Это ж сколько заморочек получаем!

Метод интервалов для рациональных неравенств

Метод интервалов выручит! Избавит нас от рутины! Мы ведь понимаем, что любое число – либо отрицательное (-), либо положительное (+), либо ноль. Где «переход» из одной зоны (+или – ) в другую (- или +)? В нуле!

На рисунке 1 функция обращается в нуль в точках -2; 1; 5 и 7. Именно при переходе через них она и меняет свой знак с одного на другой. Функция может также коснуться оси (ох), и «не перескочить» в другую зону (как на рисунке 2). В данном случае точка $x=-2$ – корень четной кратности (мы еще поговорим об этом). В любом случае, если функция попала из одной «зоны» («+,-») в другую («-,+»), – значит она в какой-то точке должна была обратиться в ноль. Поэтому-то нули функции и помогут нам! Итак, давайте выработаем алгоритм, которого будем придерживаться при решении рациональных неравенств.

Алгоритм решения рациональных неравенств

Пусть нам дано неравенство вида $f(x)\vee0$ , где $\vee$ – один из знаков $<,\leq,>,\geq$ .

Раскладываем $f(x)$ на множители (если это возможно*).
Находим нули $f(x)$ .
Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень – четной кратности, например, в неравенстве $x^3(x-1)^4<0$ $x=1$ – корень четной кратности, корень $x=0$ – обычный).
Расставляем знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Советую брать «миллиончик» – не промахнетесь (шучу). Нам не важно само значение функции в выбранной точке, но только ЗНАК в ней, поэтому не утруждайте себя подсчетами – только грубая прикидка.
Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ. Например, если неравенство со знаком «>», то берем интервалы со знаком «+», если неравенство со знаком «<», то берем интервалы со знаком «-», если неравенство со знаком $\leq$ ( $\geq$ ), то берем промежутки со знаком «+» («-») c закрытыми концами.

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: $(2-x)(x^2-9)<0$ Решение: 1) Разложим вторую скобку неравенства на множители по формуле «разность квадратов»: $(2-x)(x-3)(x+3)<0$ 2) Нули: $2; \pm3$
3) 4) Взяв «миллиончик» и «подставив» в $(2-x)(x-3)(x+3)$ , конечно же будем иметь знак «-». Далее знаки чередуются.

5) Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ:

Ответ: $x\in (-3;2)\cup(3;+\infty)$ .

Пример 2.

Решить неравенство: $x^2+2x+3>0$ Решение: 1) Попадаем в ситуацию (*) – на множители-то не раскладывается, так как $D<0$ . 2) – 3) А отмечать-то нечего на оси :( 4) Так значит, меняться знаку негде! Он – либо «+» либо «-» всюду! Берем любое число, например, 0 и смотрим, какой знак в нем принимает выражение $x^2+2x+3$ . Очевидно, это «+». Поэтому

5) Ответ: $x\in R$ .

Пример 3.

Решить неравенство: $(x^3-27)(x+5)^2\geq 0$ Решение:

1) Раскладываем первую скобку на множители по формуле разность кубов: $(x-3)(x^2+3x+9)(x+5)^2\geq 0$ . Заметим, $(x^2+3x+9)$ дальше на множители не раскладывается, так как $D<0$ для этого квадратного трехчлена. А значит, эта скобка несет в себе только один знак (не трудно понять, что «+»). То есть, вообще говоря, мы можем поделить обе части исходного неравенства на $(x^2+3x+9)$ . Полученное тогда неравенство $(x-3)(x+5)^2\geq 0$ равносильно исходному.Будем дальше решать именно это неравенство: $(x-3)(x+5)^2\geq 0$ 2) Нули: $3;\;-5$ .3)-4) Обратите внимание: корень $x=-5$ – четной кратности, при переходе через него не будет происходить смена знаков! Ну действительно, знак неравенства определяется только выражением $x-3$ , ведь $(x+5)^2$ принимает только «+» (то есть не влияет на знак произведения) или обращается в ноль.

Обратите внимание – в ответ пойдет и точка {-5}! Так как знак неравенства нестрогий, мы должны взять и все точки, лежащие на оси. 5) Ответ: $x\in$ { $-5$ } $\cup[3;+\infty]$ .

Пример 4.

Решить неравенство: $(x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)\leq 0$ Решение:

1) Первая скобка: $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$ Вторая скобка: $x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$ , так как $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-8)}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$ , $x_1=2,\;x_2=-4$ .Третья скобка: $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ способ разложения аналогичен способу разложению второй скобки.Итак, имеем: $x(x-2)^2(x+2)^2(x+4)(x+5)\leq 0$ .2) Нули: $-5,\;-4\,;-2,\;0,\;2$ , при этом $x=2,\;x=-2$ – корни четной кратности.3)-5)

Ответ: $x\in (-\infty;-5]\cup[-4;0]\cup$ { $2$ }.

Пример 5.

Решить неравенство: $(x^2-x-1)(x^2-x-7)<-5$ Решение:

Надеюсь, у вас не возникает желания разложить на множители каждую из скобок? Ни в коем случае! Должен быть «0» справа!Поэтому, первое, что нужно сделать, – перенести «-5» в левую сторону. Но раскрывать скобки и выходить на 4-ю степень не хотелось бы.Замечаем, что есть одинаковые компоненты ( $x^2-x$ ) в скобках, поэтому, можно сделать замену переменной. Обозначим $x^2-x-1$ за $t$ . Тогда получаем следующее неравенство: $t(t-6)+5<0$ .Далее: $t^2-6t+5<0$ .1) Раскладываем на множители: $t^2-6t+5=(t-5)(t-1)$ 2) Нули: 1; 53)-5) Ось у нас будет называться $t$ :

$t\in (1;5)$ .Теперь нам предстоит сделать обратную замену: $1<x^2-x-1<5$ .Перепишем двойное неравенство в виде системы: $\begin{cases} x^2-x-1<5,& &x^2-x-1>1; \end{cases}$ $\begin{cases} x^2-x-6<0,& &x^2-x-2>0; \end{cases}$ Нам предстоит решить два неравенства, а потом пересечь их решения. Решаем первое неравенство: $x^2-x-6<0$ Раскладываем на множители: $(x+2)(x-3)<0$ .