Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона
Статьи по математике
17:10, 23 январь 2025
69
0

Статья и презентация по теме "Бином Ньютона." к 14 уроку по Вероятности и статистике в 10 классе, углубленный уровень. Формула бинома Ньютона — это важный инструмент в алгебре, который позволяет разложить степень бинома (суммы двух слагаемых) на сумму членов. Биномом называется выражение вида \( (a+b)^N \), где \(a\) и \(b\) — любые числа или переменные. 

История

Формула была названа в честь английского математика Исаака Ньютона, который в XVII веке изучал свойства биномиальных выражений. Однако стоит отметить, что формула была известна и до Ньютона, и её использовали другие математики.

Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:


где:

  • \( n\) — натуральное число (степень бинома),
  • \( C(n,k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n−k)!}$$

Применение формулы

Формула бинома Ньютона позволяет быстро находить значения выражений вида (a+b)^n\) без необходимости многократного умножения. Например, если мы хотим вычислить (x+2)^3\), мы можем использовать формулу:

\( (x+2)^3=C(3,0)x^3⋅2^0+C(3,1)x^2⋅2^1+C(3,2)x^1⋅2^2+C(3,3)x^0⋅2^3\)

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$=1 \cdot x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2+3⋅x \cdot 4+1 \cdot 8=$$
$$=1 \cdot x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2+3 \cdot x \cdot 4+1 \cdot 8=$$
$$=x^3+6x^2+12x+8=x^3+6x^2+12x+8$$

Таким образом, мы получили разложение \( (x+2)^3\).

Зачем это нужно?

Формула бинома Ньютона полезна в различных областях математики, включая комбинаторику, алгебру и даже в некоторых приложениях физики и статистики. Она помогает упростить вычисления и понять структуру алгебраических выражений.

Заключение

Формула бинома Ньютона — это мощный инструмент, который позволяет разложить выражения и сделать вычисления проще. Зная ее, вы сможете быстрее решать задачи и лучше понимать алгебру. Попробуйте сами применить формулу на различных примерах, и вы увидите, как она упрощает работу с многочленами!



👉 Полезные ссылки

Ctrl
Enter
Заметили ошЫбку
Выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
Комментарии (0)
Последние статьи сайта
MasterStudy LMS Learning Management System PRO v4.6.10 MasterStudy LMS Learning Management System PRO v4.6.10
Превратите свои знания в успешный бизнес электронного обучения, используя платформу обучения нового поколения. Плагин...
15.02.25
52
0
Masterstudy 4.8.92 — Образовательная WordPress тема Masterstudy 4.8.92 — Образовательная WordPress тема
MasterStudy — лучшая тема WordPress для Центра образования и обучения — для образовательных организаций, которые...
15.02.25
47
0