Задача 4 ЕГЭ При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел 0.3 0.6 0.97

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

(Ященко 36 вариантов 2023 Задача 4 из Варианта 26)

Решение:

При решении данной задачи целесообразно сначала найти вероятность не попадания автоматической системой в цель ни при первом, ни при втором, ни при третьем и т.д. выстрелах. Вероятность промаха при первом выстреле будет равна

P₁ = 1 - 0,3;

- вероятность промаха при двух выстрелах

P₂ = (1 - 0,3)(1 - 0,6);

- вероятность промаха при трех выстрелах

P₃ = (1 - 0,3)(1 - 0,6)(1 - 0,6) 

и т.д.

Зная вероятность промаха P_n при n выстрелах, вычислим вероятность попадания как обратную величину 1 - P_n. Найдем число выстрелов, при котором вероятность поражения цели не менее 0,97:

- при первом выстреле:

P = 1 - (1 - 0,3) = 0,3;

- при двух выстрелах:

P = 1 - (1 - 0,3)(1 - 0,6) = 0,72;

- при трех выстрелах:

P = 1 - (1 - 0,3)(1 - 0,6)(1 - 0,6) = 0,888;

- при четырех выстрелах

P = 1 - (1 - 0,3)(1 - 0,6)³ = 0,9552;

- при пяти выстрелах

P = 1 - (1 - 0,3)(1 - 0,6)⁴ = 0,98208.

Ответ: 5.