Задача 5 ЕГЭ При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев. 16 90

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 16% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 90% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Пусть событие A  — пациент болен, событие B  — тест выявляет наличие заболевания. Тогда  \(P(A)  =  x \)  — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна \( P(AB)  =  x \cdot  0,99 \). Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 16% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна \( (1-x) \cdot (1-0,16) \). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна \( P(B) = x \cdot 0,99 + (1-x) \cdot (1-0,16) = 0,9\) Отсюда найдём x: \( 0,4 \) 

Тогда вероятность того, что человек, у которого тест оказался положительным, действительно имеет заболевание, равна \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}=  \frac{0,4 \cdot 0,99}{0,9} = 0,44 \) 

Ответ: \( 0,44 \)