Высшая алгебра

Материал представляет собой основной курс высшей алгебры, читавшийся авторами в 1989—2022 гг. на одном из потоков первого курса механико-математического факультета Новосибирского государственного университета. Основное внимание в данном курсе уделяется линейной алгебре. Для чтения и понимания текста от читателя требуется знание элементарных понятий теории множеств, отображений и принципа математической индукции. Для студентов естественно-научных и инженерных специальностей, аспирантов и научных сотрудников. 

Скачать

Введение.................................................................................................................7
Тема 1. Векторные пространства. Матрицы и определители........10
1.1. Определение и примеры полей.............................................................. 10
1.2. Поле комплексных чисел: конструкция в виде пар из К................... 11
1.3. Модуль и аргумент комплексного числа..............................................12
1.4. Формула Муавра. Извлечение корня.................................................... 12
1.5. Отношение эквивалентности и разбиение на классы...................... 13
1.6. Эквивалентность систем линейных уравнений
при элементарных преобразованиях............................................. 15
1.7. Приведение к ступенчатому виду методом Гаусса.............................17
1.8. Условия совместности и определенности............................................ 20
1.9. Векторные пространства........................................................................22
1.10. Подпространство, линейная зависимоств.........................................24
1.11. Базис и размерность: существование и свойства.............................25
1.12. Изоморфизм векторных пространств одной размерности............ 27
1.13. Базис подпространства векторного пространства...........................28
1.14. Сумма и пересечение подпространств.............................................. 29
1.15. Пространства линейных отображений и матриц.............................31
1.16. Изоморфизм пространств линейных отображений и матриц......32
1.17. Суперпозиция отображений и произведение матриц..................... 34
1.18. Обратимые преобразования и матрицы............................................ 36
1.19. Характеризация обратимости в терминах ядра и образа............. 39
1.20. Вертикальный и горизонтальный ранги матриц.............................40
1.21. Ранг как размерность образа. Ранг произведения матриц........... 40
1.22. Эквивалентности матриц одного ранга............................................42
1.23. Теорема Кронекера — Капелли........................................................... 43
1.24. Размерность пространства решений,
фундаментальная система решений.............................................. 45
1.25. Линейные многообразия...................................................................... 46
1.26. Фактор-пространство: базис, размерность.......................................47
1.27. Определитель квадратной матрицы: основные свойства.............. 48
1.28. Определитель как кососимметрическая полилинейная
нормированная функция..................................................................52
1.29. Теорема об определителе транспонированной матрицы...............53
1.30. Разложсение определителя по любому столбцу.
Присоединенная матрица................................................................54
1.31. Определитель произведения матриц..................................................56
1.32. Формулы Крамера..................................................................................56
1.33. Минорный ранг. Теорема об окаймляющем миноре...................... 57
Тема 2. Группы, кольца, поля.....................................................................59
2.1. Алгебраическая система, подсистема, изоморфизм..........................59
2.2. Теорема об обобщенной ассоциативности..........................................60
2.3. Подгруппы, циклические группы. Порядок элемента
и порядок порожденной им циклической группы......................62
2.4. Симметрическая группа. Разложение подстановки
на независимые циклы.....................................................................64
2.5. Разложение на транспозиции, независимость четности числа
сомноэсителей. Знакопеременная группа....................................66
2.6. Теорема о полном развертывании определителя...............................68
2.7. Изоморфизм групп, теорема Кэли........................................................ 69
2.8. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа...........................72
2.9. Нормальные подгруппы и фактор-группы.......................................... 73
2.10. Теорема о гомоморфизмах групп........................................................ 75
2.11. Кольца. Многочлены, нормальные степенные ряды....................... 76
2.12. Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор-кольцо и основная
теорема о гомоморфизмах колец. Кольцо Zn................................80
2.13. Поле, простое подполе, расширение поля. Поле Fp.
Характеристика поля........................................................................ 82
2.14. Матричная конструкция поля С. Групповые свойства
корней из единицы............................................................................85
2.15. Максимальные идеалы колец и поля вычетов.................................. 86
2.16. Целостные кольца и поля частных. Поле рядов Лорана..................86
Тема 3. Кольца многочленов......................................................................89
3.1. Алгоритм деления с остатком................................................................89
3.2. Факториальные кольца. Наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах.........89
3.3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида............................................... 93
3.4. Факториальность евклидовых колец.................................................. 95
3.5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса..........................................96
3.6. Факториальность кольца многочленов над факториальным
кольцом................................................................................................97
3.7. Неприводимые многочлены, признак неприводимости
Эйзенштейна.......................................................................................98
3.8. Разложение рациональных функций на простейшие дроби.......... 99
3.9. Корни многочлена и линейные множители.
Интерполяционные формулы........................................................ 102
3.10. Теорема о существовании корня. Поле разложения..................... 104
3.11. Формула Тейлора. Отделение кратных множсителей................... 106
3.12. Формуль Виета. Основная теорема о симметрических
многочленах......................................................................................108 
3.13. Дискриминант. Формулы Ньютона................................................... 113
3.14. Результант как определитель наличия общих множсителей......117
3.15. Результант как симметрическая функция корней.......................... 119
3.16. Алгебраическал замкнутость поля С................................................ 121
3.17. Разложение многочленов на множители над полями С, К, Q......... 123
3.18. Границы корней. Теорема Штурма................................................... 123
Тема 4. Линейные преобразования векторных пространств.... 126
4.1. Матрица линейного отображсения................................................... 126
4.2. Координаты образа вектора. Изменение матрицы
при изменении базы.......................................................................127
4.3. Однозначное определение линейного преобразования
по образу базиса.............................................................................. 128
4.4. Изоморфизм алгебр L(V, V) и Mn(F).................................................... 129
4.5. Характеристические многочлены подобных матриц. Подобие
матриц................................................................................................ 130
4.6. Теорема Гамильтона — Кэли.................................................................131
4.7. Инвариантные подпространства, условия их существования....... 132
4.8. Характеристический многочлен линейного преобразования....... 134
4.9. Собственные векторы и значения. Независимость
собственных векторов, отвечающих различным собственным
значениям........................................................................................ 135
4.10. Минимальные многочлены матриц
и линейных преобразований....................................................... 137
4.11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их матриц.... 138
4.12. Минимальный и характеристический многочлены
от матрицы Жордана......................................................................140
4.13. Векторное пространство как прямая сумма
корневых подпространств.............................................................142
4.14. Теорема Жордана — существование
жордановой нормальной формы..................................................145
4.15. Теорема Жордана — единственность
жордановой нормальной формы..................................................147
4.16. Задача о подобии матриц....................................................................149
4.17. Функции от матриц..............................................................................150
4.18. Представление функций от матрии многочленами.......................152
Тема 5. Евклидовы и унитарные пространства..........................155
5.1. Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовых пространств 155
5.2. Длина вектора и расстояние. Неравенство
Коши — Буняковского.....................................................................156
5.3. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта....................................158
5.4. Ортогональные суммы и ортогональные дополнения.................... 160
5.5. Пространство как ортогональная сумма подпространств.............. 161
5.6. Существование и единственность сопряженного
преобразования................................................................................161
5.7. Матрица сопряженного преобразования.......................................... 162
5.8. Канонический вид нормального преобразования унитарного
пространства.....................................................................................163
5.9. Изоморфизм унитарных пространств................................................165
5.10. Канонический вид нормального преобразования евклидова
пространства....................................................................................166
5.11. Унитарные и ортогональные преобразования.
Канонический вид матриц этих преобразований.................... 169
5.12. Эрмитовы и симметрические преобразования.
Канонический вид матриц этих преобразований.....................172
5.13. Положительные и неотрицательные преобразования.................. 173
5.14. Сингулярное и полярное разложение линейного
преобразования............................................................................... 175
Тема 6. Квадратичные формы................................................................ 177
6.1. Матрица квадратичной формы, ее поведение при замене
неизвестных......................................................................................177
6.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.........................177
6.3. АлгоритмЛагранжа приведения формы к диагональному виду....... 178
6.4. Закон инерции квадратичных форм..................................................179
6.5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду.......... 180
6.6. Необходимые и достаточные условия положительной
определенности формы..................................................................182
6.7. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм.......... 183
Тема 7. Базис Грёбнера............................................................................... 185
7.1. Эквивалентность систем алгебраических уравнений.
Теорема Гильберта о базисе.......................................................... 185
7.2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие,
радикал идеала................................................................................ 186
7.3. Базис Грёбнера идеала.......................................................................... 188
7.4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера...............190
Тема 8. Тензорные произведения.........................................................192
8.1. Тензорное произведение векторных пространств...........................192
8.2. Тензорные произведения алгебр.........................................................196
8.3. Тензорная алгебра..................................................................................197
8.4. Симметрическая алгебра......................................................................198
8.5. Внешняя алгебра....................................................................................200
Литература......................................................................................................203