Высшая алгебра. Теория Галуа

Данный курс основан на семестровом курсе «Теория Галуа», который Н. С. Романовский более 20 лет читал на четвертом курсе механикоматематического факультета Новосибирского государственного университета. Курс содержит основы теории групп, колец и полей, необходимые для изложения основного материала: формулировки и доказательства основной теоремы Галуа о соответствии между подполями данного конечного расширения полей и подгруппами группы Галуа этого расширения. Подробно рассмотрены приложения теоремы Галуа к исследованию разрешимости в радикалах алгебраических уравнений, к решению геометрических задач на построение. В общих чертах рассказывается, как строится теория Галуа для бесконечных расширений. Для студентов 3—4 курса естественнонаучных и инженерных специальностей, аспирантов и научных сотрудников. 

Скачать

Предисловие........................................................................................... 5
Тема 1. Элементы теории групп....................................................... 7
1.1. Группы, подгруппы и смежные классы........................................ 7
1.2. Действие группы на множестве..................................................13
1.3. Нормальные подгруппы и теорема о гомоморфизмах
для групп................................................................................. 15
1.4. Разрешимые группы..................................................................... 19
1.5. Теорема Силова............................................................................ 23
Тема 2. Элементы теории колец и полей.................................. 27
2.1. Основные понятия........................................................................27
2.2. Расширения полей........................................................................37
2.3. Алгебраическое замыкание........................................................41
2.4. Нормальные и сепарабельные расширения............................. 46
2.5. Конечные поля............................................................................. 52
Тема 3. Соответствие Галуа и его приложения........................55
3.1. Расширения Галуа........................................................................55
3.2. Круговые и циклические расширения.......................................59
3.3. Разрешимость уравнений в радикалах......................................62
3.4. Построения циркулем и линейкой............................................ 67
3.5. Теория Галуа для бесконечных расширений............................ 71
Литература.............................................................................................74
Приложение. Примеры решения задач.....................................75