Задача 16 ЕГЭ В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

(Открытый банк задач 2024)

Решение:

Пусть сумма долга будет \(xS\), где \(x\) - количество лет. Возрастание на \(r%\) для краткости решения можно записывать как: \( k=1+\frac{r}{100}\). Значит, превышение долга на 10% можно записать как \(1,1xS\) в первый год и далее аналогично.

Общая сумма выплат 15 млн, составим уравнение, сложив платежи, отдельно положительные и отдельно отрицательные:

$$1,1xS+1,1(x-1)S+ \ldots +1,1S - ((x-1)S+(x-2)S+ \ldots +S)=15$$

Можно сократить наши вычисления, воспользовавшись суммой арифметической прогрессии. И не забываем, что можно вынести общий множитель за скобки. Среди положительных слагаемых это \(1,1S\), а из скобки просто \(S\):

$$1,1S(\frac{x+1}{2} \cdot x) - S \cdot \frac{x-1+1}{2} \cdot (x-1)=15$$

$$1,1xS \cdot \frac{x+1}{2} - \frac{xS}{2} \cdot (x-1)=15$$

И учитывая нашу замену \(xS=10\):

$$1,1 \cdot 10 \cdot \frac{x+1}{2} - \frac{10}{2} \cdot (x-1)=15$$

$$5,5x+5,5 - 5x+5=15$$

$$0,5x=4,5$$

$$x=9$$

Ответ: 9 года