Задача 16 ЕГЭ В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. 58564 106964

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

(Открытый банк задач 2024 года)

Решение:

Пусть \(S\) - сумма кредита, \(x=58564\) рубля, \(y=106964\) рубля. Возрастание на \(r%\) для краткости решения можно записывать как: \( k=1+\frac{r}{100}\). Составим модель для каждой ситуации:

При двух годах:

Получаем два уравнения:

$$\begin{cases}
 k(k(k(kS-x)-x)-x)-x=0  \\
 k(kS-y)-y=0  
\end{cases}$$

Раскроем все скобки, получим систему:

$$\begin{cases}
 k^{4}S-k^{3}x-k^{2}x-kx-x=0  \\
 k^{2}S-ky-y=0  
\end{cases}$$

Выразим из второго \(k^{2}S\), чтобы подставить его в первое уравнение. Потом ещё не забудем использовать числовые значения \(x=58564\) рубля, \(y=106964\) рубля:

$$\begin{cases}
 k^{2}\cdot k^{2}S-k^{3}x-k^{2}x-kx-x=0  \\
 k^{2}S=ky+y 
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
 k^{2}\cdot k^{2}S-k^{3}\cdot 58564 -k^{2}\cdot 58564-k\cdot 58564 - 58564=0  \\
 k^{2}S=k\cdot 106964+106964 
\end{cases}$$

Тогда, после подстановки, первое уравнение примет вид:

$$k^{2}\cdot (k\cdot 106964+106964)-k^{3}\cdot 58564 -k^{2}\cdot 58564-k\cdot 58564 - 58564=0$$

Упрощаем:

$$48400k^{3}+48400k^{2}-58564k-58564=0 | : 48400$$

$$k^{3}+k^{2}-1,21k-1,21=0$$

$$k^{2}\cdot (k+1)-1,21(k+1)=0$$

$$(k^{2}-1,21)\cdot (k+1)=0$$

$$k=1,1; k=-1,1;  k=-1$$

Так как мы считаем проценты, то нас устраивает первое значение. И, с учётом \( k=1+\frac{r}{100}\), находим значение \(r\):

$$r=10%$$

Ответ: \(r=10%\)