Тригонометрические функции

10:38, 27 сентябрь 2021

9 541

👉 Вакансии
Полезные телеграм каналы
👉 Полезные ссылки

План изучения темы

Область определения и множество значений тригонометрических функций.
Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций.
Свойства функции y=cosx и её график.
Свойства функции y=sinx и её график.
Свойства функции y=tgx и её график.
Свойства функции y=ctgx и её график.
Решение задач на применение свойств функций.

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Область определения функции - это множество значений, принимаемых независимой переменной (аргументом Х). Для функции, заданной формулой, под область определения часто понимают множество допустимых значений аргумента, то есть всех тех его значений, для которых формула даёт действительное значение для функции.

Разберемся, какая область определения у тригонометрических функций. Каждому действительному числу Х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол Х радиан. Таким образом каждому действительному числу Х поставлены в соответствие числа sinx и cosx, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y=sinx и y=cosx.

Областью определения функций y=sinx и y=cosx является множество R всех действительных чисел.

Областью определения функции y=tgx является множество чисел

Множество значений функции - это множество значений, принимаемых зависимой переменной (Y).

Так как функции y=sinx и y=cosx принимают значения в рамках единичной окружности, то множество их значений ею ограничено.

Множеством значений функций y=sinx и y=cosx является отрезок [-1;1].

Функции y=sinx и y=cosx являются ограниченными.

Множеством значений функции y=tgx является множество R всех действительных чисел, так как уравнение tgx=a имеет корни при любом действительном значении a.

Пример 1

Найти область определения функции

Решение: сами функции y=sinx и y=cosx имеют в области определения все действительные числа. Но тут они стоят в сумме, в знаменателе. А мы знаем, что если знаменатель будет равным нулю, то выражение потеряет смысл. Значит, для нахождения области определения необходимо приравнять знаменатель к нулю и решить получившееся уравнение.

Значит, областью определения являются все значения, кроме найденных выше:

Пример 2

Найдите множество значений функции

Решение: видим, что в правой части есть возможность применить тригонометрическую формулу двойного угла для синуса. Сделаем это:

Областью значений функции y=sinx является отрезок [-1;1]. Здесь есть функция синуса, просто она умножена на одну вторую и ещё прибавлено 3. Учтём всё сказанное и получим новое множество значений:

То есть на первом шаге мы умножили концы отрезка на одну вторую, а затем прибавили к ним 3. В итоге мы получили множество значений данной функции. Никакой роли тут не играет двойной угол, так как он влияет на сужение/растяжение графика вдоль оси ОХ.

Ответ: [2,5;3,5]

Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Чётная функция - функция y=f(x), область определения которой симметрична относительно нуля и для каждого Х из области определения имеет место равенство:

График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Примером может служить парабола.

Нечетная функция - функция y=f(x), область определения которой симметрична относительно нуля и для каждого Х из области определения имеет место равенство:

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Примером может служить кубическая парабола.

значит, это нечётная функция.

значит, это чётная функция.

значит, это нечётная функция.

Пример 3

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

Решение:

После применения формулы приведения, мы получаем функцию в виде

Воспользуемся правилом определения чётности/нечётности и проверим, что у нас получится:

То есть, мы видим, что данная функция является чётной, из-за появившегося квадрата в показателе степени.

Ответ: чётная

Период функции - некоторое действительное число Т такое, что для всех Х их области определения функции f числа Х+Т и Х-Т принадлежат области определения функции f и f(X)=f(X+T)=f(X-T). Однако чаще всего лишь наименьшее из всех таких чисел Т положительное, называют наименьшим периодом функции.

Мы с вами знаем, что при полном обороте по единичной окружности мы попадаем в точку с такими же координатами, то есть верны равенства:

Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на два пи. Такие функции называются периодическими с периодом:

Аналогично, выполняются ещё два равенства:

Значит, тангенс и котангенс - это периодические функции, с периодом:

Пример 4

Найдём несколько периодов функций на конкретных примерах.

Решение:

Задание 1. Смотрим, чем отличается функция от стандартного вида. Видим 3 перед аргументом. Значит, нужно взять основной период для синуса:

и просто поделить его на 3. Значит период для первой функции будет равен:

Задание 2. Перед аргументом у тангенса мы видим дробь 3/2. Значит, основной период тангенса нужно просто разделить на эту дробь. Получаем:

Задание 3. Перед аргументом стоит дробь 1/2 и прибавлено ещё пи на 6. Это прибавление не играет никакой роли, просто график будет двигаться налево вдоль оси, поэтому ищем период как обычно. Берём основной период косинуса и делим на дробь: