Производная

План изучения темы

1. Понятие производной.
2. Геометрический смысл производной.
3. Уравнение касательной в данной точке.
4. Физический смысл производной.
5. Таблица производных.
6. Правила нахождения производных различных функций и их комбинаций.
7. Производная сложной функции.

Понятие производной

Производной функции называется математическое понятие, характеризующее скорость изменения функции.

На рисунке видно три графика функции. Как считаете, какой из них растёт быстрее? Ответ очевиден: график под номером 3.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется y с изменением x. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается f'(x)

Геометрический смысл производной

Покажем, как найти производную с помощью графика.

На рисунке перед вами график некоторой функции y=f(x). Возьмём на нём произвольную точку А с абсциссой в x₀ 

Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Этот тангенс и показывает нам значение производной в точке касания, то есть:

С другой стороны, касательная задаётся формулой прямой с коэффициентом наклона k. Значит, можно расширить нашу формулу и связать её с данным коэффициентом:

Если функция в точке возрастает, то k>0, если же функция убывает, то k<0. Так же ведёт себя и значение производной в данной точке.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Пример 1

На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции в точке .

Решение: проведём касательную в точку

Видим, что в данной точке функция убывает, значит значение производной будет отрицательное. Теперь глядя на получившийся прямоугольный треугольник видно, что вертикальный катет у него 3, а горизонтальный 4. Имеем в итоге:

Ответ: -0,75

Пример 2

На рисунке изображён график - производной функции . На оси абсцисс отмечены 10 точек: . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции ?

Решение: так как перед нами график не самой функции, а её производной, то там где производная отрицательна - функция убывает. И, наоборот, где производная положительна, там функция возрастает. Нам нужны точки, находящиеся на промежутках убывания. Значит, выбираем те, которые лежат ниже оси ОХ. Это точки . Видим, что таких точек 6.

Ответ: 6

ЕЩЁ БОЛЬШЕ ЗАДАЧ НА ПРОИЗВОДНУЮ С РАЗБОРОМ (ЧАСТЬ 1)

ЕЩЁ БОЛЬШЕ ЗАДАЧ НА ПРОИЗВОДНУЮ С РАЗБОРОМ (ЧАСТЬ 2)

Уравнение касательной в данной точке

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Первая производная от перемещения - это скорость: 

Вторая производная от перемещения (или же производная от скорости) - это ускорение:

Пример 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где х - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=4.

Решение: нужно воспользоваться производной функции . Тогда получим, что .

Подставив в данное выражение t=4, получим ответ на вопрос задачи: 14 метров в секунду.

Ответ: 14

Таблица производных

a,n,m - это некоторые числа, х - независимая переменная.

C, const	0
x	1
	a
	cosx
cosx
arccosx

Правила нахождения производных различных функций и их комбинаций.

Пример 4

Найдите производную функции если, и

Решение: 

Способ 1

Способ 2

Это два способа нахождения производной от произведения функций. Из-за того, что функции степенные, можно пользоваться любым, какой считаете удобнее.

Пример 5

Найдём производную для функций из предыдущего примера.

Решение:

Видим, что пользуясь третьим правилом дифференцирования, можно получить производную от частного данных функций.

Производная сложной функции.

Пример 6

Задания для самостоятельного решения по производным (30 штук)

Скачать по ссылке

Видео разбор 30 примеров