Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Метод интервалов

Теория
Рассмотрим дробно-рациональное неравенство видаПрактика
Пример 1.
Решить неравенство:Неравенство
равносильно следующей системе:
Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку
.
Ответ:
.

Пример 2.
Решить неравенство:Исходное неравенство равносильно следующему:
Разложим на множители последнюю скобку неравенства:
А вот квадратный трехчлен
на множители не раскладывается, так как
.Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в
, – получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину
, при этом поменяв знак неравенства на
.Итак, решаем следующее неравенство
, равносильное исходному.
Ответ:
.

Пример 3.
Решить неравенство:Исходное неравенство равносильно следующей системе:
Заметим,![x^3+5x-6=x^3-x+6x-6=x(x^2-1)+6(x-1)=]()
При этом
на R.То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на
):
при условии, что
. Поэтому
Ответ:
.

Пример 4.
Решить неравенство:Первое, что необходимо сделать – перенести
влево и привести к общему знаменателю:![\frac{2x+3}{x^2+x-12}-\frac{1}{2}\leq 0]()
![\frac{2(2x+3)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)}\leq 0]()
![\frac{4x+6-x^2-x+12}{2(x^2+x-12)}\leq 0]()
Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства:
Исходное неравенство равносильно следующей системе:
Далее, после разложения на множители, имеем:
Ответ:
.

Пример 5.
Решить неравенство:Первое, что необходимо сделать – перенести
влево и привести все три дроби к общему знаменателю:
Производим преобразования:
Исходное неравенство равносильно следующей системе:
После разложения на множители в первой строке системы имеем:
Ответ:
.
Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье
Последние статьи сайта

Онлайн сервис Mathigon с развертками геометрических фигур, алгебраическими понятиями, уроками и другими наглядными...

ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Ященко И.В....