Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Метод интервалов

veduk

14:57, 12 октябрь 2019

1 617

Донат / Поддержать автора

Решение дробно-рационального неравенства методом интервалов

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

Теория

Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида $\frac{f(x)}{g(x)}\vee 0$ , где $\vee -$ один из знаков $<,\;\leq,\;>,\;\geq$ и $f(x),\; g(x) -$ рациональные выражения. Заметим, областью определения дробно-рационального выражения $\frac{f(x)}{g(x)}$ является $g(x)\neq 0$ . Мы сведем решение дробно-рациональных неравенств к решению рациональных неравенств методом интервалов следующим образом: Неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}>0$ равносильно неравенству $f(x)\cdot g(x)>0$ Неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ равносильно неравенству $f(x)\cdot g(x)<0$ Неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$ равносильно неравенству $f(x)\cdot g(x)\leq 0$ , при условии $g(x)\neq 0$ Неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$ равносильно неравенству $f(x)\cdot g(x)\geq 0$ , при условии $g(x)\neq 0$

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: $\frac{x-2}{3x+5}\leq 0$ Решение:

Неравенство $\frac{x-2}{3x+5}\leq 0$ равносильно следующей системе: $\begin{cases} (x-2)(3x+5)\leq 0,& &3x+5\neq 0; \end{cases}$ Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку $x=-\frac{5}{3}$ . yui

Ответ: $(-\frac{5}{3};2]$ .

Пример 2.

Решить неравенство: $\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2}>0$ Решение:

Исходное неравенство равносильно следующему: $(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)(x^2+x-2)>0$ Разложим на множители последнюю скобку неравенства: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ А вот квадратный трехчлен $(3x-7-x^2)$ на множители не раскладывается, так как $D<0$ .Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в $(3x-7-x^2)$ , – получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину $(3x-7-x^2)$ , при этом поменяв знак неравенства на $<$ .Итак, решаем следующее неравенство $(x-4)(x-3)(x-1)(x+2)<0$ , равносильное исходному.

Ответ: $(-2;1)\cup(3;4)$ .

Пример 3.

Решить неравенство: $\frac{x^3+5x-6}{x+2}\geq 0$ Решение:

Исходное неравенство равносильно следующей системе: $\begin{cases} (x^3+5x-6)(x+2)\geq 0,& &x+2\neq 0; \end{cases}$ Заметим, $x^3+5x-6=x^3-x+6x-6=x(x^2-1)+6(x-1)=$ $=x(x-1)(x+1)+6(x-1)=(x-1)(x^2+x+6)$ При этом $x^2+x+6>0$ на R.То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на $x^2+x+6$ ): $(x-1)(x+2)\geq 0$ при условии, что $x+2\neq 0$ . Поэтому wsdf

Ответ: $(-\infty;-2)\cup[1;+\infty)$ .

Пример 4.

Решить неравенство: $\frac{2x+3}{x^2+x-12}\leq \frac{1}{2}$ Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести $\frac{1}{2}$ влево и привести к общему знаменателю: $\frac{2x+3}{x^2+x-12}-\frac{1}{2}\leq 0$ $\frac{2(2x+3)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)}\leq 0$ $\frac{4x+6-x^2-x+12}{2(x^2+x-12)}\leq 0$ $\frac{-x^2+3x+18}{2(x^2+x-12)}\leq 0$ Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства: $\frac{x^2-3x-18}{2(x^2+x-12)}\geq 0$ Исходное неравенство равносильно следующей системе: $\begin{cases} (x^2-3x-18)(x^2+x-12)\geq 0,& &x^2+x-12\neq 0; \end{cases}$ Далее, после разложения на множители, имеем: $\begin{cases} (x-6)(x+3)(x-3)(x+4)\geq 0,& &(x-3)(x+4)\neq 0; \end{cases}$ ghj

Ответ: $(-\infty;-4)\cup[-3;3)\cup[6;+\infty)$ .

Пример 5.

Решить неравенство: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}\geq \frac{1}{x}$ Решение:

Первое, что необходимо сделать – перенести $\frac{1}{x}$ влево и привести все три дроби к общему знаменателю: $\frac{x(x-1)+x(x-2)-(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)x}\geq 0$ Производим преобразования: $\frac{x^2-x+x^2-2x-x^2+3x-2}{(x-2)(x-1)x}\geq 0$ $\frac{x^2-2}{(x-2)(x-1)x}\geq 0$ Исходное неравенство равносильно следующей системе: $\begin{cases} (x^2-2)(x-2)(x-1)x\geq 0,& &(x-2)(x-1)x\neq 0; \end{cases}$ После разложения на множители в первой строке системы имеем: $\begin{cases} (x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-1)(x-2)x\geq 0,& &(x-2)(x-1)x\neq 0; \end{cases}$