Метод рационализации - как решать, мини-курс (задание 14 ЕГЭ 2023)

Задача 15 профиль

13:40, 24 март 2020

10 397

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начнем разговор про рационализацию в неравенствах, поговорим о равносильности.

Равносильность

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.

Пример 1. Уравнения $x^2-5x+6=0$ и $\frac{x^2}{x+3}=\frac{5x-6}{x+3}$ равносильны, так как имеют одни и те же корни.

Пример 2. Уравнения $\frac{5}{x-3}=0$ и $\sqrt{-4-x^2}=0$ также равносильны, так как решением каждого из них является пустое множество.

Пример 3. Неравенства $|x|<3$ и $x^2<9$ равносильны, так как решением и того, и другого является множество $(-3;3)$ .

Пример 4. $(x-3)^2=1$ и $x-3=1$ – неравносильны. Решение второго уравнения является только 4, а решением первого – и 4, и 2.

Пример 5. Неравенство $log_{1-\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)-log_{1+\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)\geq 0$ равносильно неравенству $x^2-12x+36\leq 0$ , так как и в том, и в другом неравенствах – решение – это 6.

То есть по виду равносильные неравенства (уравнения) могут быть совсем далеки от сходства.

По сути, когда мы решаем сложные, длинные уравнения (неравенства), вроде этого $log_{1-\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)-log_{1+\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)\geq 0$ , и получаем ответ $x=6$ , у нас ведь в руках оказывается ни что иное, как уравнение (неравенство), равносильное исходному. Вид разный, а суть одна!

Пример 6. Давайте вспомним, как мы решали неравенство $(x+6)(x-5)>0$ до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+6>0,& &x-5>0; \end{cases} &\begin{cases} x+6<0,& &x-5<0;\end{cases} \end{gathered} \right$

То есть неравенство $(x+6)(x-5)>0$ и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+6>0,& &x-5>0; \end{cases} &\begin{cases} x+6<0,& &x-5<0;\end{cases} \end{gathered} \right$

заменить ее неравенством $(x+6)(x-5)>0$ , которое в два счета решается методом интервалов.

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Рассмотрим неравенство $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$ .

Представляем 4 в виде логарифма:

$\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq \log_{x-3}(x-3)^4$ .

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на « $\geq$ ». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x-3>1,& &(x^2-4x)^2\leq(x-3)^4; \end{cases} &\begin{cases} x-3<1,& &(x^2-4x)^2\geq(x-3)^4;\end{cases} \end{gathered} \right$

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стал нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x-3-1>0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4\leq 0; \end{cases} &\begin{cases} x-3-1<0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4\geq 0;\end{cases} \end{gathered} \right$

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с примером 6 мы данную совокупность систем заменим неравенством:

$(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$ .

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$ .

Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства:

$\begin{cases} x-3>0,& &x-3\neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; \end{cases}$

$x\in(3;4)\cup(4;+\infty)$

Теперь решим $(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$ $(x-4)(x^2-4x-(x-3)^2)(x^2-4x+(x-3)^2)\leq 0$

$(x-4)(x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\leq 0$

$(x-4)(2x-9)(2x^2-10x+9)\leq 0$

$2(x-4)(2x-9)(x-\frac{5-\sqrt7}{2})(x-\frac{5+\sqrt7}{2})\leq 0$

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

rtygh

Ответ: $(3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5]$ .

Итак, вот она, эта «волшебная» таблица:

Заметим, таблица работает при условии $f>0,\;g>0,\;h>0,\;h\neq 1$

uihk

где $f,\;g$ – функции от $x$ ,

$h$ – функция или число,

$\vee$ – один из знаков $>,\;\geq,\;<,\;\leq$

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы – следствия первой. Во второй строке 1 представлена прежде как $\log_hh$ , а в третьей – 0 представлен как $\log_h1$ .

И еще парочка полезных следствий (надеюсь, вам несложно понять откуда они вытекают):

ghfh $f>0,\;g>0,\;h>0,\;h\neq 1,\;p>0,\;p\neq 1$

где $f,\;g$ – функции от $x$ ,

$h,\;p$ – функция или число,

$\vee$ – один из знаков $>,\;\geq,\;<,\;\leq$

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство $3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}$ .

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства

$(3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0$ .

$x^2+4x-9< 0;$

$(x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0;$

$x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13});$

Ответ: $(-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13})$ .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

$f,\;g$ – функции от $x$ , $h$ – функция или число, $\vee$ – один из знаков $>,\;\geq,\;<,\;\leq$ Таблица работает при условии $h>0,\;h\neq 1$ . Также в третьей, четвертой строках – дополнительно – $f\geq 0,g\geq 0$

ijh

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка – частный случай третьей.

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа $|f|\vee |g|$ , где $f,\;g -$ функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами: $|f|\vee|g|\; \Leftrightarrow\; f^2\vee g^2\;\Leftrightarrow\; (f-g)(f+g)\vee 0$