Сфера

План изучения темы

1. Понятие сферы и отличие от шара.
2. Уравнение сферы.
3. Площадь поверхности сферы.
4. Объём шара.
5. Решение задач на тему "Сфера. Шар".

Понятие сферы и отличие от шара

Данная точка называется центром сферы. А данное расстояние - это радиус сферы. Отрезок, соединяющий две точки на сфере и проходящий через центр сферы, называется диаметром сферы.

Уравнение сферы

По логике, уравнение сферы строится так же, как и уравнение окружности. Если вы помните его, то не составит труда запомнить и уравнение сферы, просто добавив ещё одну координату. Расстояние от произвольной точки М на поверхности сферы до центра С сферы находится по формуле:

По рисунку мы видим, что точка С - это центр сферы, а точка М - лежит на поверхности сферы. У каждой из них свои координаты. Так как расстояние МС равно радиусу сферы, то можно легко получить уравнение сферы:

Площадь поверхности сферы

Площадь поверхности сферы достаточно легко запоминается:

Объём шара

Объём шара вычисляется по формуле:

Решение задач на тему "Сфера. Шар"

Пример 1 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 3)

Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Решение: по формуле находим площадь поверхности каждого шара.

Площадь поверхности нового шара состоит из суммы двух найденных, значит:

Ну и отсюда находим радиус нового шара:

Ответ: 25

Пример 2 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 13)

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 188. Найдите объём конуса.

Решение: 

Раз радиус основания конуса равен радиусу шара, то основание конуса лежит на осевом сечении шара, как на рисунке выше. Зная объём шара мы легко вычислим радиус шара. Ну и далее найдем объём конуса, ведь радиусы равны.

Кубический корень мы извлекать не будем. Так как радиус шара равен высоте конуса, мы получим одну интересную вещь:

Видим, что и тут всплыл радиус в кубе. Значит, нужно всего лишь посчитать объём конуса:

Ответ: 47

Пример 3

Напишите уравнение сферы с центром в точке А(3;0;-5) и радиусом R=5.

Решение: уравнение сферы:

В нашем случае:

Подставляем и пишем уравнение сферы: