Цилиндр

Цилиндр
Ц
11:41, 28 сентябрь 2021
88
0

План изучения темы

  1. Понятие цилиндра.
  2. Площадь поверхности цилиндра.
  3. Объём цилиндра.
  4. Решение задач на тему "Цилиндр".

Понятие цилиндра

Цилиндр - это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (боковая поверхность цилиндра) и двумя параллельными плоскостями (основаниями цилиндра).

Основание цилиндра - это круглая плоскость, на которую опирается геометрическая фигура. Таких оснований у цилиндра 2, они абсолютно одинаковы.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью цилиндра. Плоскость, проходящая через ось будет осевым сечением. Очень часто данное понятие возникает при решении задач ЕГЭ. На рисунке ниже выделено красным пунктиром.

Вся боковая поверхность цилиндра состоит из бесконечного количества прямых, параллельных оси цилиндра. Эти прямые носят название образующих цилиндра. На рисунке выше это AB или KD.

Высотой цилиндра является длина его образующей, а радиус основания - радиусом цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра

На рисунке видно, что цилиндр разрезали по образующей AB и развернули, получив при этом прямоугольник (боковую поверхность цилиндра) и два основания (окружности). Не трудно догадаться, что длина любой окружности будет равна длине стороны получившегося прямоугольника. Поэтому площадь боковой поверхности цилиндра можно найти с помощью площади прямоугольника. Просто одна из сторон найдётся как длина окружности, а вторая будет высотой цилиндра.

Формула обычно используется с радиусом, но можно и с диаметром. Кому как удобно.

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо добавить 2 площади основания. А раз в основании окружность, то это будет две площади окружности.

Объём цилиндра

Объём цилиндра, как большинства фигур такого плана, вычисляется исходя из площади основания и высоты.

Решение задач на тему "Цилиндр"

Пример 1 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 10)

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2,5 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в см.

Два цилиндрических сосуда

Решение: Раз переливают жидкость, значит это задача на объём.

Но при этом наши объёмы равны, жидкость то одна. 

Раз по условию диаметр второго сосуда в 2,5 раза больше, значит и радиус изменяется так же. Но тут нужно учесть "подвох" - радиус в формуле у нас возведён в квадрат. Вспоминая правило пропорции, считаем:

Ответ: 4

Пример 2 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 26)

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые рёбра призмы равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение: для нахождения объёма цилиндра, нам нужен радиус основания и высота. Но боковые рёбра призмы будут равны высоте цилиндра, раз по условию цилиндр описан около этой призмы. Значит, нужно посчитать только радиус основания.

В основании призмы прямоугольный треугольник. А мы знаем, что в таком случае, гипотенуза будет лежать на диаметре окружности. Значит, для нахождения радиуса нужно найти гипотенузу и поделить её на 2. 

Воспользуемся теоремой Пифагора. Наши катеты 5 и 6:

Значит, радиус будет равен:

Ну и находим объём цилиндра:

Ответ: 61

Пример 3

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен R, его высота - Н, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно D. Найдите Н, если R=10, D=8, АВ=13.

Решение:

Ctrl
Enter
Заметили ошЫбку
Выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
Комментарии (0)
Топ из этой категории
Домашнее задание для 11 класса на 6.10.2021 Домашнее задание для 11 класса на 6.10.2021
Решить домашку по производным на 6 октября...
05.10.21
259
0
Рекламное агентство "Meoweb" Рекламное агентство "Meoweb"
Заказать рекламу в пабликах агентства "Meoweb" можно дешево и без заморочек....
01.10.21
101
0