Конус

План изучения темы

1. Понятие конуса.
2. Площадь поверхности конуса.
3. Объём конуса.
4. Усечённый конус.
5. Площадь поверхности усечённого конуса.
6. Объём усечённого конуса.
7. Решение задач на тему "Конус".

Понятие конуса

Точка Р - вершина конуса. РО - ось конуса, а её отрезок, заключенный между вершиной и основанием - высота конуса. Основание конуса - это круг, на который опирается данная геометрическая фигура. Любая прямая, соединяющая вершину Р с точкой на окружности основания (РА, РВ) - это образующая конуса (обозначается l). Поверхность, составленная их образующих - это боковая поверхность конуса.

Площадь поверхности конуса

Как и цилиндр, конус имеет два вида площадей - площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности.

Развёртка конуса представляет собой сектор. Отсюда есть разные формулы нахождения площади боковой поверхности.

Это формула при использовании развёртки, как сектора. Если же учесть, что длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то получаем равенство:

где r - радиус основания конуса. Тогда имеем вторую, более простую формулу нахождения площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности состоит из боковой и основания конуса. Значит, формула нахождения этой площади:

Объём конуса

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Усечённый конус

Если на какой-либо высоте конуса провести секущую плоскость, параллельную основанию, то мы получим две фигуры: конус меньшего объёма сверху и усечённый конус внизу. При этом, составляющие элементы будут как у обычного конуса: образующие, ось, высота, боковая поверхность. Отличие - будет уже два основания, которые отличаются по площади.

Площадь поверхности усечённого конуса

Из-за того, что теперь у нас два основания, формула площади боковой поверхности усеченного конуса будет выглядеть иначе:

Само собой, меняется и формула площади полной поверхности:

Объём усечённого конуса

Решение задач на тему "Конус"

Пример 1 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 7)

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,25 высоты. Объём жидкости составляет 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд.

Решение: объём конуса вычисляется по формуле:

Высота налитой жидкости 0,25 от всей высоты конуса. Значит, высота в 4 раза больше. Но при этом, не забывайте, что радиус всего конуса тоже увеличится в 4 раза. Так как мы на осевом сечении получаем случай подобных треугольников:

С учётом таких изменений, наш новый объём (объём всего конуса) примет вид:

Видим, что объём всего конуса в 64 раза больше налитой жидкости. Значит, в миллилитрах это будет:

Получается, что долить нужно 315 миллилитров.

Ответ: 315

Пример 2 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 11)

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Решение: формулы объёмов цилиндра и конуса отличаются незначительно.

Видим, что отличие только в дроби 1/3 в формуле объёма конуса. А раз по условию высота и основания совпадают, значит объём конуса будет просто в 3 раза меньше. Значит, он равен 54.

Ответ: 54

Пример 3 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 25)

Площадь боковой поверхности конуса равна 30. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее его высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь боковой поверхности отсечённого конуса.

Решение: разберемся для начала, какие подобные треугольники тут можно получить.

Видим, что треугольник SAD подобен треугольнику SBC с коэффициентом подобия 2/5. Значит, площади боковых поверхностей конуса и отсечённого конуса будут иметь отношение подобия в квадрате (из-за того, что это площади, а не длины каких-то сторон).

Отсечённый конус - это тот, что сверху, маленький. Значит, с учётом коэффициента подобия:

Ответ: 4,8