Задача 4 ЕГЭ Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. 3 броска

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до сотых.

(Ященко 36 вариантов 2023 Задача 4 из Варианта 8)

Решение:

Конечно эту задачу можно решить перебором "благоприятных" случаев. Но главное понять правильно условие.

Всего различных вариантов вроде как: 6·6·6 = 216. Но стоп. Не так. Это, если бы в условии говорилось, что кидаем кубик всего 3 раза, тогда так. Но кубик могли бросить и 2 раза и 10 раз (каждый раз выпадало 1). И совсем непонятно общее количество исходов.

Тогда проще перебирать не исходы, а сразу вероятность конкретных исходов. Поскольку выпадение конкретного 1 числа на кубике 1/6. И поскольку выпадение числа на кубике независимо от предыдущих бросков, то вероятности можем перемножать, а поскольку различные варианты бросков будут несовместными, то сможем вероятности суммировать.

Какие же будут "благоприятными". За один бросок максимум можно достичь 6 очков, Значит придется делать второй бросок. А за два броска можно достичь > 9 очков и произойдет остановка. И третьего броска не будет. Эти варианты не подходят. А если за 2 броска выпадет <4, то третьим броском максимум можно набрать 9 и это тоже не подходит.

Таким образом получаем, что за первые 2 броска должно выпасть в сумме 4; или 5; или 6; или 7; или 8; или 9; (6 вариантов). Рассмотрим каждый.

1) Выпало 4 за два раза. Тогда на третьем 1 вариант "6" с вероятностью 1/6. Посчитаем способы выкинуть 4 за 2 раза: "1 и 3" - 2 способа с вероятностью (1/6)·(1/6) и "2 и 2" - 1 способ с вероятностью (1/6)·(1/6).

Итоговая вероятность варианта 1: (1/6)·3·(1/36) = 3/216;

Далее аналогично:

2) Выпало 5 за два раза. Тогда на третьем 2 варианта "6" и "5" (вероятность 2/6). Посчитаем способы выкинуть 5 за 2 раза: "1 и 4" - 2 способа и "2 и 3" - 2 способа.

Итоговая вероятность варианта 2: (2/6)·4·(1/36) = 8/216;

3) Выпало 6 за два раза. Тогда на третьем 3 варианта "6" и "5" и "4" (вероятность 3/6). Посчитаем способы выкинуть 6 за 2 раза: "1 и 5" - 2 способа и "2 и 4" - 2 способа и "3 и 3" - 1 способ.

Итоговая вероятность варианта 3: (3/6)·5·(1/36) = 15/216;

4) Выпало 7 за два раза. Тогда на третьем 4 варианта "6" и "5" и "4" и "3" (вероятность 4/6). Посчитаем способы выкинуть 7 за 2 раза: "1 и 6" - 2 способа и "2 и 5" - 2 способа и "3 и 4" - 2 способа.

Итоговая вероятность варианта 4: (4/6)·6·(1/36) = 24/216;

5) Выпало 8 за два раза. Тогда на третьем 5 вариантов "6" и "5" и "4" и "3" и "2" (вероятность 5/6). Посчитаем способы выкинуть 8 за 2 раза: "2 и 6" - 2 способа и "3 и 5" - 2 способа и "4 и 4" - 1 способа.

Итоговая вероятность варианта 5: (5/6)•5•(1/36) = 25/216;

6) Выпало 9 за два раза. Тогда на третьем 6 вариантов "6" и "5" и "4" и "3" и "2" и "1". (вероятность 6/6) Посчитаем способы выкинуть 9 за 2 раза: "3 и 6" - 2 способа и "4 и 5" - 2 способа.

Итоговая вероятность варианта 6: (6/6)·4·(1/36) = 24/216;

Всего получилось: P = 3/216 + 8/216 + 15/216 + 24/216 + 25/216 + 24/216 = 99/216

Тогда вероятность P = 99/216 ≈ 0,458(3), с округлением до сотых

Ответ: 0,46