Задача 18 ЕГЭ Найдите все значения a, при которых система уравнений sqrt{16-y^{2}}=sqrt{16-a^{2}x^{2}} x^{2}+y^{2}=8x+4y

Найдите все значения a, при которых система уравнений

\begin{cases}
 & \sqrt{16-y^{2}}=\sqrt{16-a^{2}x^{2}}  \\
 & x^{2}+y^{2}=8x+4y
\end{cases}

имеет ровно два различных решения

Решение: 

1) Второе уравнение не содержит параметр. Приведём это уравнение к уравнению окружности.

это уравнение окружности с центром \( (4; 2), R = \sqrt{20} \) 

Найдём точки пересечения окружности с осями координат.

2) Рассмотрим первое уравнение \( \sqrt{16-y^{2}}=\sqrt{16-a^{2}x^{2}} \)

При \( a=0 \) графиком является прямая \( y=0 \). При \( a \neq 0 \) графиком является пара прямых, проходящих через начало координат, ограниченная условием \( -4 \leq y \leq 4 \)

Изобразим график второго уравнения с учётом условия \( -4 \leq y \leq 4 \) . Это дуга окружности.

Найдём точки пересечения окружности с прямой \( y=4 \)

$$(x-4)^{2} + (4-2)^{2}=20$$ $$x^{2}-8x+16+4=20$$ $$x^{2}-8x=0$$ $$x=0, x=8$$

Точки \( C(0;4), A(8;4) \)

3) При  \( a=0 \) система имеет два решения, т.к. прямая \( y=0 \) пересекает дугу окружности в двух точках \( D(0;0), B(8;0) \). Значит, \( a=0 \) удовлетворяет условию.

4) Система имеет ровно два решения, когда прямые \( y = \pm ax \) имеют ровно две точки пересечения с графиком второго уравнения (с частью окружности). 
Пусть \( а > 0 \) . 
    a) Прямые \( y = ax \) проходят через точку \( D(0;0) \) и  расположены в первой и третей  четверти.  Если прямая проходит через точку \( A(8;4) \) , она имеет две общие точки  с графиком второго уравнений (дугой окружности). Подставим координаты точки \( A \) в уравнение прямой и найдём значение а.

$$ 4=8a; a=0,5 $$

При \( а > 0,5 \) - одна общая точка с дугой окружности.

При \( а \leq 0,5 \) - прямая \( y = ax \) имеет две общие точки с окружностью.

    б) Прямые \( y = -ax \) проходят через точку  \( D(0;0) \) и расположены во второй и четвёртой четверти. Прямая  имеет одну общую точку с дугой окружности, если она является касательной к окружности. У этой прямой уже есть одна общая точка с окружностью \( D(0;0) \). Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, т.е. радиусу  \( OD \).

Найдём угловой коэффициент прямой, содержащей радиус \( OD \) , подставив координаты центра окружности \( O(4;2) \) в уравнение \( y=k_{1}x \)

$$ 2=4k_{1}; k_{1}=0,5 $$

Прямая \( y=0,5x \). Угловой коэффициент касательной как прямой, перпендикулярной данной, равен \( k_{2}=- \frac{1}{k_{1}}=- \frac{1}{0,5}=-2 \) . Уравнение касательной \( y=-2x \). Значит, при \( а = -2 \) это прямая имеет одну общую точку с окружностью. В остальных случаях при \( -2 \leq a \leq 0 \) и при \( a \leq -2 \) - две общие точки.

Учитывая то, что рассматриваем сразу пару симметричных прямых, имеем: 

Ответ: \( (-\infty ; -2)\cup (-2 ; -0,5)\cup \{0\} \cup (0,5 ; 2) \cup (2 ; +\infty)\)