Введение в высшую математику

Содержание издания соответствует актуальным требованиям федерального государственного образовательного стандарта высшего образования и включает следующие разделы математики: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, элементы дискретной математики и математической логики, математический анализ, дифференциальные и разностные уравнения, элементы линейного программирования, элементы вычислительной математики, теория вероятностей, математическая статистика.

Учебник включает теоретический минимум, необходимый для освоения курса высшей математики, и большое количество решенных с использованием математического аппарата задач экономического содержания и упражнений для самостоятельной работы, контролирующих
усвоение изученного материала.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим направлениям прикладного и академического бакалавриата, а также для всех, кто изучает высшую математику самостоятельно. 

Скачать

Авторский коллектив................................................................................................. 9
Введение..........................................................................................................................10
Раздел I
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ,
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ,
ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Глава 1. Элементы линейной алгебры ..................................................................15
1.1. Матрицы и действия над ними...................................................................................... 15
1.1.1. Виды матриц..............................................................................................................15
1.1.2. Операции над матрицами и их свойства....................................................... 17
1.2. Определители........................................................................................................................20
1.2.1. Определители второго и третьего порядков................................................21
1.2.2. Определители и свойства определителей и-го порядка.......................... 21
1.2.3. Обратная матрица................................................................................................... 23
1.2.4. Ранг матрицы........................................................................................................... 24
1.3. Системы линейных уравнений......................................................................................31
1.3.1. Основные понятия и определения................................................................... 32
1.3.2. Метод Гаусса............................................................................................................. 35
1.3.3. Метод обратной матрицы....................................................................................36
1.3.4. Правило Крамера....................................................................................................37
1.4. Комплексные числа............................................................................................................45
1.4.1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме....... 45
1.4.2. Тригонометрическая и экспоненциальная формы
комплексного числа..........................................................................................................47
Задания для салюстоятелъной работы............................................................................. 51
Глава 2. Элементы аналитической геометрии ...................................................56
2.1. Линейные пространства...................................................................................................56
2.1.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами...56
2.1.2. «-мерные векторные пространства.................................................................. 65
2.1.3. Линейная зависимость векторов. Базис и размерность
линейного пространства.................................................................................................. 67
2.2. Линейные операторы........................................................................................................ 79
2.2.1. Матрица линейного оператора.......................................................................... 80
2.2.2. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора.............................................................................................................................. 81
2.3. Квадратичные формы........................................................................................................ 84
2.4. Фигуры на плоскости и в пространстве..................................................................... 86
2.4.1. Прямая па плоскости.............................................................................................86
2.4.2. Кривые второго порядка......................................................................................88
2.4.3. Прямая и плоскость в пространстве............................................................... 95
Задания для самостоятельной работы............................................................................. 97
Глава 3. Элементы дискретной математики и математической логики. 100
3.1. Комбинаторика................................................................................................................. 100
3.1.1. Элементы теории множеств. Правила суммы и произведения........ 101
3.1.2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений
и с повторениями.............................................................................................................105
3.1.3. Задачи перечисления...........................................................................................108
3.2. Математическая логика................................................................................................ 110
3.2.1. Высказывания. Основные логические операции и их свойства....... 110
3.2.2. Логические функции и способы их задания............................................ 114
3.2.3. Исчисление высказываний.............................................................................116
3.2.4. Логика предикатов............................................................................................. 118
3.3. Элементы теории графов ..............................................................................................122
3.3.1. Общие понятия теории графов. Вершины и ребра..................................122
3.3.2. Связность графа. Графы и деревья............................................................... 124
3.3.3. Эйлеровы путь и цикл.........................................................................................128
Задания для самостоятельной работы........................................................................... 130
Раздел II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ,
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Глава 4. Дифференциальное и интегральное исчисление функции
одной переменной......................................................................................................135
4.1. Пределы и непрерывность.............................................................................................135
4.1.1. Ч пеловые функции..............................................................................................135
4.1.2. Предел числовой последовательности......................................................... 137
4.1.3. Предел функции.................................................................................................... 139
4.1.4. Теоремы о пределах функций .........................................................................141
4.1.5. Непрерывность функции...................................................................................144
4.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной....................... 148
4.2.1. Производная функции, таблица производных.........................................148
4.2.2. Основные правила дифференцирования....................................................151
4.2.3. Основные теоремы дифференциального исчисления............................154
4.2.4. Исследование функций с помощью производных, построение
графиков............................................................................................................................. 156
4.2.5. Дифференциал функции и его приложения............................................ 164
4.3. Интегральное исчисление функций одной переменной...................................165
4.3.1. Первообразная и неопределенный интеграл.............................................165
4.3.2. Методы интегрирования....................................................................................168
4.3.3. Определенный интеграл и его свойства...................................................... 179
4.3.4. Приложения определенного интеграла ...................................................... 181
4.3.5. Несобственные интегралы.................................................................................183
4.4. Примеры применения дифференциального исчисления для решения
финансово-экономических задач........................................................................184
4.4.1. Эластичность функции, ее свойства и геометрический смысл .........184
4.4.2. Функция спроса................................................................................................... 187
4.4.3. Функция предложения......................................................................................189
4.4.4. Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли......... 190
Задания для самостоятельной работы.......................................................................... 192
Глава 5. Функции нескольких переменных, числовые
и функциональные ряды..........................................................................................196
5.1. Функции нескольких переменных.............................................................................196
5.1.1. Понятие функции нескольких переменных. Предел
и непрерывность............................................................................................................... 196
5.1.2. Дифференцирование функций нескольких переменных..................... 199
5.1.3. Экстремумы функции нескольких переменных..................................... 205
5.1.4. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов...................214
5.1.5. Основные виды функций нескольких переменных
в экономических задачах.............................................................................................. 219
5.2. Числовые и функциональные ряды..........................................................................225
5.2.1. Определения и свойства числовых рядов.................................................. 225
5.2.2. Положительные ряды........................................................................................ 227
5.2.3. Знакочередующиеся ряды................................................................................ 229
5.2.4. Функциональные ряды...................................................................................... 230
5.2.5. Степенные ряды....................................................................................................231
5.2.6. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных
функций в степенной ряд............................................................................................. 232
Задания для самостоятельной работы........................................................................... 236
Глава 6. Дифференциальные и разностные уравнения.............................. 239
6.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.................239
6.1.1. Основные понятия...............................................................................................239
6.1.2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка........................ 242
6.1.3. Уравнения Бернулли и Риккати ................................................................... 251
6.1.4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель..........................................................................................................................254
6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков............................................. 256
6.2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка........................................ 256
6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.......... 258
6.2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Фундаментальный набор решений...........................................................................259
6.2.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами..............................................................................................................260
6.2.5. Линейные неоднородные уравнения............................................................263
6.3. Разностные уравнения....................................................................................................268
6.3.1. Основные понятия ............................................................................................. 268
6.3.2. Линейные разностные уравнения..................................................................269
6.3.3. IІрименение разностных уравнений в экономической динамике.... 273
6.4. Простейшие математические модели экономической динамики
с непрерывным временем..................................................................................... 276
6.4.1. Модель естественного роста............................................................................ 277
6.4.2. Логистический рост............................................................................................279
6.4.3. Неоклассический рост ...................................................................................... 282
6.4.4. Линейные уравнения в экономической динамике.................................. 283
Задания для самостоятельной работы.......................................................................... 285
Глава 7. Элементы линейного программирования......................................... 288
7.1. Линейные экономические модели............................................................................. 288
7.1.1. Модель Леонтьева................................................................................................288
7.1.2. Линейная модель обмена. Модель международной торговли.......... 290
7.1.3. Модель равновесных цен.................................................................................. 291
7.2. Задача линейного программирования......................................................................292
7.2.1. 11остановка задачи линейного программирования................................. 292
7.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного
программирования в случае двух переменных. Графический метод
решения............................................................................................................................... 294
7.2.3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования..... 295
7.2.4. Понятие о взаимно двойственных задачах линейного
программирования. Двойственность в экономико-математических
моделях................................................................................................................................ 297
Задания для самостоятельной работы...........................................................................300
Глава 8. Элементы вычислительной математики............................................303
8.1. Элементы машинной арифметики. Теория погрешностей.
Вычислительные алгоритмы...............................................................................303
8.1.1. Понятие о численном методе. Аппроксимация........................................ 303
8.1.2. Основы теории погрешностей.........................................................................305
8.2. Устойчивость и сходимость алгоритмов.................................................................307
8.2.1. 1 Іонятие об устойчивости метода и задачи................................................307
8.2.2. Понятие о сходимости численного метода.................................................307
8.3. Численные методы решения нелинейных уравнений с одной
неизвестной................................................................................................................308
8.3.1. Постановка задачи................................................................................................308
8.3.2. Метод половинного деления............................................................................ 309
8.3.3. Метод простой итерации................................................................................... 310
8.3.4. Метод Ньютона.....................................................................................................311
8.4. Численное интегрирование.......................................................................................... 312
8.4.1. Квадратурная формула прямоугольников.................................................312
8.4.2. Квадратурная формула Симпсона.................................................................314
8.4.3. Квадратурная формула трапеций .................................................................314
8.4.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа................................................. 316
Задания для самостоятельной работы...........................................................................317
Раздел III
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Глава 9. Теория вероятностей................................................................................321
9.1. Основные понятия теории вероятностей................................................................321
9.1.1. Случайные события и операции над ними.................................................321
9.1.2. Классическое определение вероятности.....................................................327
9.1.3. Геометрическое определение вероятности.................................................327
9.1.4. Основные формулы вычисления вероятностей....................................... 328
9.1.5. Повторные независимые испытания............................................................333
9.2. Случайные величины......................................................................................................337
9.2.1. Закон распределения дискретной случайной величины......................337
9.2.2. Арифметические операции над дискретными случайными
величинами........................................................................................................................339
9.2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин..............343
9.2.4. Непрерывные случайные величины.............................................................349
9.3. Основные законы распределений, наиболее употребляемые
в социально-экономических приложениях.................................................. 354
9.3.1. Биномиальный закон распределения...........................................................354
9.3.2. Распределение Пуассона................................................................................... 357
9.3.3. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.......................359
9.3.4. Равномерное распределение............................................................................ 361
9.3.5. Показательное распределение.........................................................................363
9.3.6. Нормальное распределение.............................................................................. 366
9.3.7. Логарифмически-нормальное распределение.......................................... 369
9.4. Многомерные случайные величины.........................................................................371
9.4.1. Дискретные многомерные случайные величины ..................................371
9.4.2. Непрерывные многомерные случайные величины................................. 377
9.4.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины..............381
9.4.4. Функции от случайных величин....................................................................389
9.5. Закон больших чисел и предельные теоремы........................................................393
9.5.1. Неравенство Маркова........................................................................................ 393
9.5.2. Теорема Чебышева.............................................................................................. 395
9.5.3. Центральная предельная теорема..................................................................397
Задания для самостоятельной работы...........................................................................398
Глава 10. Математическая статистика............................................................... 405
10.1. Статистические методы обработки экспериментальных данных...............405
10.1.1. Эмпирические характеристики признаков ............................................ 405
10.1.2. Выборочный метод............................................................................................ 415
10.2. Статистические оценки параметров распределения....................................... 420
10.3. Статистическая проверка гипотез..........................................................................434
10.4. Элементы корреляционно-регрессионного анализа........................................ 450
Задания для самостоятельной работы...........................................................................456
Литература................................................................................................................... 463
Приложение. Таблицы значений функций......................................................466