Задача 18 ЕГЭ Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [1; 2]

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств 

$$ \begin{cases}
    x \leq 2a+6\\
    6x \geq x^2+a^2\\
    x+a >0
\end{cases} $$

имеет хотя бы одно решение на отрезке [1; 2]

(Новый открытый банк задач)

Решение:

Выразим из каждого параметр а, а второе сведём к неравенству с окружностью:

$$ \begin{cases}
    a \geq \frac{x}{2}-3\\
    a^2+(x-3)^2 \leq 9\\
    a > -x
\end{cases} $$

Построим на системе координат соответствующие графики и отметим те области, которые удовлетворяют системе:

Решение системы там, где происходит наложение всех цветов (на экзамене можно закрашивать лёгкой штриховкой разного наклона). Прямая С проведена пунктиром, так как она соответствует строгому неравенству. Точка 1 и Точка 2 - это наименьшее и наибольшее значение параметра a, так как по оси ординат отложено значение параметра. Причём, Точка 1 не входит в область (принадлежит пунктирной прямой, задающей строгое неравенство), и она не будет включена в конечный ответ.

Точка 1 - точка пересечения двух прямых, задающих первое и третье неравенство. Это точное значение, тут \(a=-2\)

Точка 2 - точка пересечения окружности и прямой \(x=2\). Нужно подставить вместо икс в уравнение окружности двойку и посчитать значение параметра: \(a=2 \sqrt{2}\)

Значит, хотя бы одно решение система будет иметь при значении параметра \(  (-2;2 \sqrt{2}] \)

Ответ: \(  (-2;2 \sqrt{2}] \)