Задача 9 ЕГЭ На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\)

В статье разбирается решение нескольких однотипных задач с Нового банка задач ФИПИ. Информация актуальна на май 2024 года. В дальнейшем возможны доработки и изменения, но материал будет полезен в подготовке к занятиям на уроках алгебры в 10-11 классах.

Задача 1. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 2 клетки, прилежащий катет равен пяти клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{2}{5}=-0,4\)

Ответ: \(-0,4\)

Задача 2. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 9 клеток, прилежащий катет равен 6 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{9}{6}=1,5\)

Ответ: \(1,5\)

Задача 3. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 9 клеток, прилежащий катет равен 3 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{9}{3}=-3\)

Ответ: \(-3\)

Задача 4. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 2 клетки, прилежащий катет равен 8 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{2}{8}=-0,25\)

Ответ: \(-0,25\)

Задача 5. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 7 клеток, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{7}{5}=1,4\)

Ответ: \(1,4\)

Задача 6. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 6 клеток, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{6}{5}=1,2\)

Ответ: \(1,2\)

Задача 7. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 10 клеток, прилежащий катет равен 8 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{10}{8}=-1,25\)

Ответ: \(-1,25\)

Задача 8. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 7 клеток, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{7}{5}=-1,4\)

Ответ: \(-1,4\)

Задача 9. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 9 клеток, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{9}{5}=1,8\)

Ответ: \(1,8\)

Задача 10. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике тупой угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет отрицательным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 5 клеток, прилежащий катет равен 2 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=-\frac{5}{2}=-2,5\)

Ответ: \(-2,5\)

Задача 11. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 7 клеток, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{7}{5}=1,4\)

Ответ: \(1,4\)

Задача 12. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_{0}\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_{0}\). 

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

Выбираем точки на рисунке, в которых касательная проходит через "узлы" клеток. Строим там прямоугольный треугольник. Значение производной будет равно тангенсу угла наклона касательной. На нашем графике острый угол с положительным направлением оси ОХ, поэтому ответ будет положительным.

Считаем тангенс угла наклона: напротив угла лежит 1 клетка, прилежащий катет равен 5 клеткам. Итого \(f'(x)=tg\alpha=\frac{1}{5}=0,2\)

Ответ: \(0,2\)