Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Статья и презентация по теме "Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения" к 21 уроку по Вероятности и статистике в 10 классе, углубленный уровень. Это урок изучения нового материала и применения практических навыков в решении задач
1. Что такое случайная величина?
Случайная величина (СВ) — это числовая характеристика случайного события.
Примеры:
-
Число очков, выпавших на кубике (1, 2, 3, 4, 5, 6).
-
Время работы лампочки до перегорания (в часах).
-
Количество орлов при 10 подбрасываниях монеты.
Типы случайных величин:
| Дискретная | Непрерывная |
|---|---|
| Принимает отдельные значения (целые числа) | Может принимать любые значения в интервале |
| Пример: число студентов в аудитории | Пример: рост человека, время ожидания автобуса |
2. Распределение вероятностей
Это закон, который показывает, какие значения принимает СВ и с какой вероятностью.
2.1. Для дискретной СВ
Задаётся таблицей или формулой.
Пример:
Подбрасываем кубик.
| X (очки) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
2.2. Для непрерывной СВ
Задаётся функцией плотности вероятности
f(x).
3. Диаграммы распределения
3.1. Дискретная СВ: Столбчатая диаграмма
Пример: Распределение числа орлов при 2 подбрасываниях монеты.
| X (число орлов) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | 0.25 | 0.5 | 0.25 |
Диаграмма:
P(X)
0.5 | ■
0.4 | ■
0.3 | ■
0.2 | ■ ■
0.1 | ■ ■
0.0 | ■-----■-----■
0 1 2 X3.2. Непрерывная СВ: График плотности
4. Практические задачи
Задача 1 (Дискретная СВ)
Вероятность, что студент сдаст экзамен — 0.7. СВ, X — число сдавших из 3 студентов. Постройте таблицу распределения.
Решение:
| X |
0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X) | 0.33=0.027 | 3×0.7×0.32=0.189 | 3×0.72×0.3=0.441 | 0.73=0.343 |
Задача 2 (Непрерывная СВ)
Автобус приходит каждые 10 минут. Какова вероятность ждать менее 3 минут?
Решение:
Равномерное распределение:
5. Применение в жизни
-
Дискретные СВ:
-
Оценки в классе.
-
Число аварий за день.
-
-
Непрерывные СВ:
-
Время до поломки прибора.
-
Температура воздуха.
-
6. Заключение
-
Случайная величина — число, зависящее от случая.
-
Распределение показывает вероятности её значений.
-
Диаграммы помогают визуализировать данные.
Домашнее задание:
-
Постройте таблицу распределения для числа решек при 4 подбрасываниях монеты.
-
Для равномерного распределения на [0, 5] найдите P(1<X<4).
Графический редактор: Построить диаграммы можно в Excel, Python (Matplotlib) или вручную.
Задача 5 ЕГЭ Правильный игральный кубик бросили десять раз. Известно, что в какой-то момент сумма выпавших при бросаниях очков оказалась равна 4.
Проходные баллы для поступления в университет «Синергия»