Задача 15 ЕГЭ 15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n+1) месяцев r% 200 1378

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 378 тысяч рублей.

(Ященко 36 вариантов 2023 Задача 15 из Варианта 36)

(Новый банк ФИПИ)

Решение:

1 способ:

Пусть \(S=1000\) тыс. рублей - сумма кредита, \( x=40 \) тыс. рублей - уменьшение долга, \( r% \)- переведём в доли по формуле \( k=1+\frac{r}{100} \)

Составим модель для ситуации:

С учётом \( 200 = S-nx \) и что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей:

$$kS+k(S-x)+...+k(S-(n-1)x)+k\cdot 200 - $$

$$- ((S-x)+(S-2x)+...+(S-(n-1)x)+200)=1378$$

Уравнение получено сложением отдельно положительных слагаемых из столбца "Платежи" и минус суммы отрицательных слагаемых того же столбца. Так просто удобнее считать в дальнейшем и пользоваться арифметической прогрессией.

Из первых слагаемых выносим общий множитель \( k\) за скобки и применяем арифметическую прогрессию. До выражения \( k\cdot 200 \) таких слагаемых ровно \( n \) . Аналогично считаем отрицательные слагаемые, но там количество на одно меньше, то есть \( n-1 \) штуки, без слагаемого \( 200 \).

$$k(\frac{S+S-(n-1)x}{2} \cdot n)+k \cdot 200 - (\frac{S-x+S-(n-1)x}{2} \cdot (n-1))-200 = 1378$$

$$k(\frac{2S-(n-1)x}{2} \cdot n)+k \cdot 200 - (\frac{2S-nx}{2} \cdot (n-1))-200 = 1378$$

Из \( 200 = S-nx \) с учётом \(S=1000\) и \( x=40 \) получаем, что \( n=20 \). Все известные подставим в наше уравнение и найдём \( k\):

$$k(\frac{2000-19\cdot 40}{2} \cdot 20)+k \cdot 200 - (\frac{2000-20\cdot 40}{2} \cdot 19)-200 = 1378$$

$$12400k+200k-11400=1578$$

$$12600k=12978$$

$$k=1,03$$

Значит, \(r=3%\)

Ответ: 3%

2 способ:

Ответ: 3%