Задача 5 ЕГЭ На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных.

На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

(Ященко 36 вариантов 2024 Задача 5 из Варианта 1)

Решение:

По очереди берём одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки, затем снова одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки. Нам нужно составить 2 чайные пары одного цвета. Подойдут следующие случаи:

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

блюдце и чашка, блюдце и чашка;

Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.

1) блюдце и чашка, блюдце и чашка — берём синее блюдце с первой полки (любое из 14, а всего 36 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 27, а всего 36 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 13 оставшихся, а всего 35 блюдец осталось) и синюю чашку со второй полки (любую из 26 оставшихся, а всего 35 чашек осталось). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:

$$p_{1}=\frac{14}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{13}{35}\cdot \frac{26}{35} = \frac{13\cdot13}{12\cdot5\cdot35}$$

2) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{2}=\frac{22}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{21}{35}\cdot \frac{8}{35} = \frac{11}{3\cdot5\cdot35}$$

3) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{3}=\frac{14}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{22}{35}\cdot \frac{9}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$

4) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{4}=\frac{14}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{22}{35}\cdot \frac{27}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$

5) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{5}=\frac{22}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{14}{35}\cdot \frac{27}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$

6) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:

$$p_{6}=\frac{22}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{14}{35}\cdot \frac{9}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$

Нужная нам вероятность: $$p=p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6}$$

При подстановке можно заметить, что последние 4 вероятности равны между собой, поэтому можно написать $$p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6} = 4\cdot p_{3}$$

Тогда искомая вероятность:

$$p=\frac{13\cdot13}{12\cdot5\cdot35} + \frac{11}{3\cdot5\cdot35} + 4\cdot \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$

$$p=0,29$$

Ответ:0,29