Задача 5 ЕГЭ На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных.

На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
(Ященко 36 вариантов 2024 Задача 5 из Варианта 1)
Решение:
По очереди берём одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки, затем снова одно блюдце с первой полки и одну чашку со второй полки. Нам нужно составить 2 чайные пары одного цвета. Подойдут следующие случаи:
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.
1) блюдце и чашка, блюдце и чашка — берём синее блюдце с первой полки (любое из 14, а всего 36 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 27, а всего 36 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 13 оставшихся, а всего 35 блюдец осталось) и синюю чашку со второй полки (любую из 26 оставшихся, а всего 35 чашек осталось). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:
$$p_{1}=\frac{14}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{13}{35}\cdot \frac{26}{35} = \frac{13\cdot13}{12\cdot5\cdot35}$$
2) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:
$$p_{2}=\frac{22}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{21}{35}\cdot \frac{8}{35} = \frac{11}{3\cdot5\cdot35}$$
3) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:
$$p_{3}=\frac{14}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{22}{35}\cdot \frac{9}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$
4) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:
$$p_{4}=\frac{14}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{22}{35}\cdot \frac{27}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$
5) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:
$$p_{5}=\frac{22}{36}\cdot \frac{9}{36}\cdot \frac{14}{35}\cdot \frac{27}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$
6) блюдце и чашка, блюдце и чашка - аналогично рассуждая, получим вероятность:
$$p_{6}=\frac{22}{36}\cdot \frac{27}{36}\cdot \frac{14}{35}\cdot \frac{9}{35} = \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$
Нужная нам вероятность: $$p=p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6}$$
При подстановке можно заметить, что последние 4 вероятности равны между собой, поэтому можно написать $$p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6} = 4\cdot p_{3}$$
Тогда искомая вероятность:
$$p=\frac{13\cdot13}{12\cdot5\cdot35} + \frac{11}{3\cdot5\cdot35} + 4\cdot \frac{33}{4\cdot5\cdot35}$$
$$p=0,29$$
Ответ:0,29

