Задача 5 ЕГЭ Симметричную монету бросают 10 раз 4орла 3 орла

Задача 5 ЕГЭ Симметричную монету бросают 10 раз Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла»?

(Ященко 36 вариантов 2024 Задача 5 из Варианта 4)

Решение:

Для решения этой задачи нам потребуются сочетания: \( C_{n}^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) - число сочетаний из n по k. Они помогут найти количество возможных комбинаций.

Если выпадет 4 орла: \( C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5  \cdot6 \cdot7 \cdot8 \cdot9 \cdot10}{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5 \cdot6} = 210\)

Если выпадет 3 орла: \( C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5  \cdot6 \cdot7 \cdot8 \cdot9 \cdot10}{1 \cdot2 \cdot3 \cdot1 \cdot2 \cdot3 \cdot4 \cdot5 \cdot6 \cdot7} = 120\)

Вероятность выпадения орла или решки одинакова и равна \( \frac{1}{2} \), значит, вероятность выпадения 4 орлов (ну и оставшихся 6 решек): \( (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^{10} \); вероятность выпадения 3 орлов (ну и оставшихся 7 решек): \( (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^7 = (\frac{1}{2})^{10} \)

Найдём во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла»:

$$\frac{(\frac{1}{2})^{10} \cdot 210}{(\frac{1}{2})^{10} \cdot 120} = 1,75$$

Ответ: \( 1,75 \)