Высшая математика

Курс математики служит цели развития мышления, в особенности абстрактного. При этом развиваются такие качества мышления как гибкость, сила, конструктивность и критичность. Для гуманитария важно не столько знать конкретные математические факты, определения и теоремы, сколько использовать математические методы в своей профессиональной деятельности. В издании доступно изложены ключевые понятия и методы дискретной математики, основы анализа и теории вероятности, также оно включает в себя курс лекций, практикум, задания для контроля и содержит все основные разделы курса

Скачать

ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................................................6
Раздел I. ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ......................... 7
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ........................................................ 7
§ 1. Понятие множества................................................................................................7
§ 2. Операции над множествами.............................................................................. 9
§ 3. Эквивалентность множеств. Счетные и несчетные множества...... 12
Глава 2. Элементы алгебры логики.........................................................................16
§ 1. Высказывания и высказыватсльныс формы..............................................16
§ 2. Виды высказываний............................................................................................ 17
§ 3. Логические операции..........................................................................................19
§ 4. Формулы и функции логики высказываний.............................................23
§ 5. Равносильные формулы.................................................................................... 25
§ 6. Тождественно истинные формулы................................................................27
§ 7. Анализ рассуждений. Правило вывода.......................................................30
§ 8. Некоторые правила вывода.............................................................................. 32
§ 9. Общее определение логического следования..........................................35
§ 10. Теорема дедукции.............................................................................................. 37
§11. Недостаточность логики высказываний..................................................39
§ 12. Понятие о предикате........................................................................................ 41
§ 13. Кванторы............................................................................................................... 46
§ 14. Формулы логики предикатов........................................................................ 49
§ 15. Предикат равенства...........................................................................................51
§ 16. Равносильные формулы.................................................................................. 53
§ 17. Общезначимые формулы................................................................................57
§ 18. Простейшие правила вывода на языке логики предикатов........... 59
Глава 3. Матрицы.............................................................................................................. 63
§ 1. Матрицы и действия над ними.......................................................................63
§ 2. Определитель квадратной матрицы. Обращение матриц.................. 70
§ 3. Системы линейных алгебраических уравнений......................................78
§ 4. Матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений........................................................................................ 82
§ 5. Ранг матрицы..........................................................................................................85
Глава 4. Отношения......................................................................................................... 87
§ 1. Понятие отношения............................................................................................. 88
§ 2. Операции над отношениями............................................................................91
§ 3. Алгебраические свойства операций.............................................................97
§ 4. Свойства отношений.........................................................................................100
§ 5. Отношение эквивалентности.........................................................................103
§ 6. Свойства эквивалентности..............................................................................105
§ 7. Отношение толерантности..............................................................................107
§ 8. Отношение порядка........................................................................................... 111
Резюме...................................................................................................................................115
Вопросы для самопроверки..................................................................................... 115
Раздел IL ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ........................................................................ 116
Глава 1. Предел и непрерывность........................................................................... 116
§ 1. Числовые последовательности.....................................................................116
§ 2. Предел числовой последовательности...................................................... 117
§ 3. Предел функции...................................................................................................119
§ 4. Простейшие приемы вычисления пределов........................................... 121
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции..........................122
§ 6. Непрерывность функции................................................................................. 125
Глава 2. Производная....................................................................................................127
§ 1. Определение производной и правила дифференцирования................. 127
§ 2. Дифференциал.....................................................................................................130
§ 3. Производные и дифференциалы порядка выше первого................. 131
§ 4. Применение производных к исследованию функций....................... 132
§ 5. Функции многих переменных. Частные производные
и полный дифференциал..........................................................................................136
§ 6. Экстремумы функций многих переменных........................................... 138
Глава 3. Интеграл............................................................................................................ 142
§ 1. Неопределенный интеграл..............................................................................142
§ 2. Методы интегрирования................................................................................. 145
§ 3. Определенный интеграл...................................................................................147
§ 4. Приложения определенного интеграла....................................................150
§ 5. Несобственные интегралы..............................................................................152
Глава 4. Понятие о линейном программировании..................................... 155
§ 1. Предварительные замечания.........................................................................155
§ 2. Линейное программирование. Общие понятия и примеры........... 159
§ 3. Геометрический способ решения задачи
линейного программирования...............................................................................162
§ 4. Общая задача линейного программирования.........................................164
§ 5. Симплексный метод..........................................................................................166
§ 6. Метод искусственного базиса............................................................ 174
§ 7. Двойственные задачи линейного программирования....................177
§ 8. Геометрическая интерпретация двойственных задач..................... 179
§ 9. Двойственный симплскс-мстод.......................................................... 181
Резюме................................................................................................................. 183
Вопросы для самопроверки..........................................................................183
Раздел III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 184
§ 1. Некоторые формулы комбинаторики............................................... 184
§ 2. Биномиальная формула Ньютона.......................................................187
§ 3. Основные понятия теории вероятностей.......................................... 189
§ 4. Пространство элементарных событий.............................................. 191
§ 5. Случайные события и действия над ними........................................192
§ 6. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей......................... 197
§ 7. Свойства вероятностей. Полная группа событий...........................200
§ 8. Условная вероятность......................................................................... 202
§ 9. Формула полной вероятности и формула Байеса...........................206
§ 10. Повторение опытов............................................................................ 208
Резюме................................................................................................................ 211
Вопросы для самопроверки......................................................................... 211
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... 212
ПРАКТИКУМ...................................................................................................213
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ......................................................... 276
Тесты для самоконтроля...............................................................................276
Задания для контрольных работ.................................................................296
Вопросы к зачету (экзамену)....................................................................... 300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................................302