Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников. Тригонометрия встречается во всей геометрии, поскольку любую форму с прямыми сторонами можно разбить на набор треугольников. Более того, тригонометрия имеет поразительно сложные отношения с другими разделами математики, в частности с комплексными числами, бесконечными рядами, логарифмами и исчислением. 

Слово «тригонометрия» является латинским производным 16-го века от греческих слов «треугольник» ( trigōnon ) и «мера» ( metron ). Хотя эта область возникла в Греции в третьем веке до нашей эры, некоторые из наиболее важных достижений (например, функция синуса) были получены из Индии в пятом веке нашей эры. Поскольку ранние тригонометрические работы Древней Греции были утеряны, неизвестно, были ли индийские ученые разработали тригонометрию независимо или под влиянием Греции. Согласно Виктору Кацу в «Истории математики» (Пирсон, 2008), тригонометрия развилась прежде всего из потребностей греческих и индийских астрономов.

Пример: высота мачты парусника.

Предположим, вам нужно знать высоту мачты парусника, но вы не можете взобраться на нее, чтобы измерить. Если мачта перпендикулярна палубе, а верхняя часть мачты прикреплена к палубе, то мачта, палуба и такелажный канат образуют прямоугольный треугольник. Если мы знаем, на каком расстоянии от мачты протянута веревка и какой наклон она встречает настил, то все, что нам нужно для определения высоты мачты, — это тригонометрия.

Для этой демонстрации нам нужно изучить пару способов описания «наклона». Во-первых, это наклон , который представляет собой отношение, сравнивающее, на сколько единиц линия увеличивается по вертикали (ее подъем ) по сравнению с тем, на сколько единиц она увеличивается по горизонтали (ее длина ). Таким образом, уклон рассчитывается как подъем, деленный на пробег. Предположим, мы измеряем точку такелажа на расстоянии 30 футов (9,1 метра) от основания мачты (прогона). Умножив пробег на уклон, мы получили бы подъем — высоту мачты. К сожалению, мы не знаем наклона. Однако мы можем найти угол такелажа и использовать его для определения уклона. Угол — это некоторая часть полного круга, которая определяется как имеющая 360 градусов. Это легко измерить транспортиром. Предположим, что угол между такелажным канатом и палубой составляет 71/360 окружности или 71 градус.

Нам нужен наклон, но у нас есть только угол. Что нам нужно, так это отношения, которые связывают их двоих. Это отношение известно как «  функция тангенса », записываемая как tan(x). Тангенс угла дает его наклон. Для нашей демонстрации уравнение выглядит так: tan(71°) = 2,90. (Мы объясним, как мы получили этот ответ позже.)

Это означает, что наклон нашей такелажной веревки составляет 2,90. Поскольку точка крепления находится в 30 футах от основания мачты, мачта должна быть 2,90 × 30 футов или 87 футов в высоту. (То же самое работает и в метрической системе: 2,90 х 9,1 метра = 26,4 метра.)

Синус, косинус и тангенс

В зависимости от того, что известно о различных длинах сторон и углах прямоугольного треугольника, есть две другие тригонометрические функции, которые могут оказаться более полезными: «функция синуса», записываемая как sin(x), и «функция косинуса», записываемая как cos(x).. Прежде чем мы объясним эти функции, необходима дополнительная терминология. Соприкасающиеся стороны и углы называются смежными . Каждая сторона имеет два смежных угла. Стороны и углы, которые не соприкасаются, называются  противоположными. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (от греческого «проходящая под»). Две оставшиеся стороны называются ножками .

Обычно нас интересует (как в примере выше) угол, отличный от прямого. То, что мы назвали «подъемом» в приведенном выше примере, принимается за длину стороны, противоположной интересующему углу; аналогичным образом «прогон» принимается за длину соседнего участка. Применительно к измерению угла три тригонометрические функции дают различные комбинации отношений длин сторон.

Другими словами:

• Тангенс угла А = длина противолежащей стороны, деленная на длину прилежащей стороны
• Синус угла А = длина противолежащего катета, деленная на длину гипотенузы.
• Косинус угла А = длина прилежащей стороны, деленная на длину гипотенузы

Из нашего предыдущего примера с корабельной мачтой соотношение между углом и его тангенсом можно определить по его графику, показанному ниже. Также включены графики синуса и косинуса.

Стоит упомянуть, хотя и выходит за рамки этой статьи, что эти функции связаны друг с другом посредством множества сложных уравнений, известных как тождества, уравнений, которые всегда верны.

Каждая тригонометрическая функция также имеет обратную, которую можно использовать для нахождения угла по отношению сторон. Инверсиями sin(x), cos(x) и tan(x) являются arcsin(x), arccos(x) и arctan(x) соответственно.

Формы, отличные от прямоугольных треугольников

Тригонометрия не ограничивается только прямоугольными треугольниками. Его можно использовать со всеми треугольниками и всеми фигурами с прямыми сторонами, которые рассматриваются как совокупность треугольников. Для любого треугольника по шести мерам сторон и углов, если известны хотя бы три, остальные три обычно можно определить. Из шести конфигураций трех известных сторон и углов только две из этих конфигураций не могут быть использованы для определения всего о треугольнике: три известных угла (AAA) и известный угол, смежный и противоположный известным сторонам (ASS). Неизвестные длины сторон и углы определяются с помощью следующих инструментов:

• Закон синусов , который гласит, что если известны обе меры одной из трех противолежащих пар угол/сторона, другие могут быть определены только по одному известному: sin(A)/a = sin(B)/b = sin( С)/с
• Закон косинусов , который гласит, что неизвестную сторону можно найти из двух известных сторон и угла между ними. По сути, это теорема Пифагора с поправочным коэффициентом для углов, отличных от 90 градусов: c² = a² + b² – 2ab∙cos(C)
• Дело в том, что сумма всех углов треугольника  должна составлять 180 градусов: А + В + С = 180°.

История тригонометрии

Тригонометрия идет тем же путем, что и алгебра : она была разработана на древнем Ближнем Востоке и через торговлю и иммиграцию попала в Грецию, Индию, средневековую Аравию и, наконец, в Европу (где, следовательно, колониализм сделал ее версией, которой сегодня обучают большинство людей). Хронология тригонометрических открытий усложняется тем фактом, что Индия и Аравия продолжали преуспевать в исследованиях на протяжении столетий после передачи знаний через культурные границы. Например, открытие Мадхавой бесконечного ряда синусов в 1400 году  было неизвестно Европе вплоть до независимого открытия Исаака Ньютона в 1670 году. Из-за этих сложностей мы сосредоточимся исключительно на открытии и вычислении синуса, косинуса и тангенса.

Начиная с Ближнего Востока, ученые Новой Вавилонии седьмого века до нашей эры разработали метод вычисления времени восхода неподвижных звезд на зодиаке. Для восхода другой неподвижной звезды незадолго до рассвета требуется примерно 10 дней, и в каждом из 12 знаков зодиака есть по три неподвижные звезды; 10 × 12 × 3 = 360. Число 360 достаточно близко к 365,24 дням в году, но с ним гораздо удобнее работать. Почти идентичные деления можно найти в текстах других древних цивилизаций, таких как  Египет и долина Инда . Согласно Уте Мерцбах в "Истории математики" (Wiley, 2011), адаптация этой вавилонской техники греческим ученым Гипсиклом Александрийским около 150 г. до н.э., вероятно, вдохновила Гиппарха Никейского (190–120 г. до н.э.), чтобы начать тенденцию разрезать круг на 360 градусов. Используя геометрию, Гиппарх определил тригонометрические значения (для функции, которая больше не используется) для приращений в 7,5 градусов (48-я  часть окружности). Птолемей Александрийский (с 90 по 168 г. н.э.) в своем «Альмагесте» 148 г. н.э. продолжил работу Гиппарха, определив тригонометрические значения для приращений в 0,5 градуса (720 ^-я  часть окружности) от 0 до 180 градусов.

Самая старая запись функции синуса происходит из Индии V века в работе Арьябхаты (476–550). Стих 1.12 «Арьябхатийи» (499) вместо представления углов в градусах содержит список последовательных разностей синусов  двадцать четвертых прямого угла  (шаг 3,75 градуса). Это было отправной точкой для большей части тригонометрии на века вперед.

Следующая группа великих ученых, унаследовавших тригонометрию, принадлежала к Золотому веку ислама. Аль-Мамун (813–833), седьмой халиф Аббасидского халифата и создатель Дома мудрости в Багдаде, спонсировал перевод «Альмагеста» Птолемея и «Арьябхатийя» Арьябхаты на арабский язык. Вскоре после этого  Аль-Хорезми  (780–850) составил точные таблицы синусов и косинусов в «Зидж аль-Синдхинд» (820). Именно благодаря этой работе знание тригонометрии впервые пришло в Европу. Согласно Джеральду Тумеру в «Словаре научной биографии» 7 , хотя оригинальная арабская версия утеряна, она была отредактирована около 1000 г.  аль-Маджрити  из Аль-Андалуса (современная Испания), который, вероятно, добавил таблицы касательных до того, как Ванна (в Южной Англии) перевел его на латынь в 1126 году.